Cтраница 1
Множество элементов группы G, перестановочных с каждым элементом данной подгруппы GI группы С, является подгруппой группы G ( нормализатором подгруппы d), которая содержит GI в качестве нормального делителя. [1]
Если множество элементов группы G не включает все обратные элементы для элементов из G, как это было бы, например, в случае необратимого процесса, то тогда группа G называется полугруппой преобразований. [2]
То что множество элементов группы Ли G образует многообразие, снабжает его геометрией. Элементы левого регулярного представления называются сдвигами на элементы группы и определяет транзитивную группу преобразований ( дифференцируемых или комплексно аналитических) группы G. Такие векторные поля называются левоинвариантными. Точно так же можно строить лево - ( или право) - инвариантные дифференциальные формы на G. Наконец, тем же способом можно построить на G лево - ( или право) - инвариантную риманову метрику. [3]
Пусть в множестве элементов группы G определено отношение упорядоченности ( см. гл. Если это отношение двусто-ронне стабильно ( см. гл. I, § 3), то О относительно этой упорядоченности называется упорядоченной группой. [4]
Через IG () обозначим множество элементов группы G, сплетающих страт П сам с собой. [5]
Сопряженность - отношение эквивалентности на множестве элементов группы G. Все элементы разбиваются на непересекающиеся классы эквивалентности [ g ], которые называются классами сопряженности. Группа G тогда и только тогда абелева, когда все ее классы сопряженности одноэлементные. [6]
При каждом гомоморфизме группы G на группу G множество элементов группы G, отображающихся в единицу группы G, есть нормальный делитель Gg группы G, а множество элементов, отображающихся в произвольный элемент группы G, есть некоторый смежный класс по G. Нормальный делитель Gg называется ядром гомоморфизма. [7]
G можно представить в виде конечного произведения степеней этих h элементов, а любое меньшее множество элементов группы G таким свойством не обладает. Пока предположим, что h 2, а циклические группы ( й1) рассмотрим позже. [8]
Часто в ходе вычислении бывает также удобно отождествлять множество свободных векторов плоскости П с множеством элементов группы ( П, 0); однако, не следует никогда упускать из виду, что в этом случае речь идет о двух различных множествах, не совпадающих, а только изоморфных. [9]
Кластерный анализ ( также употребляются термины кластеризация, самообучение, обучение без учителя) - это метод выделения из множества элементов групп ( кластеров) схожих между собой элементов. Предполагается, что элементы одного и того же кластера похожи, а элементы различных кластеров отличаются друг от друга. Как правило, число кластеров заранее не определяется. Кластерный анализ записей баз данных осуществляется на основе значений их количественных и качественных атрибутов. При этом делается попытка автоматически разнести имеющиеся записи по различным группам. Кластерный анализ применяют при решении большого числа задач. В социологии его используют для обработки результатов опросов общественного мнения, в медицине - для выявления типичных клинических случаев, в маркетинге - для поиска родственных групп клиентов. Часто выделение кластеров - отправная точка для других алгоритмов интеллектуального анализа данных. [10]
Следующий шаг заключается в том, чтобы абстрагироваться от задания нашей группы как группы преобразований и считать, что многообразие X является адекватным описанием множества элементов группы и групповой закон задан на этом множестве X. Так мы приходим к понятию группы Ли, имеющему два варианта в зависимости от того, предполагаем ли мы X дифференцируемым, или комплексно аналитическим многообразием. [11]
Так как подгруппа / 7 Л / о содержит коммутант группы P / / V0, любой элемент из группы PJ индуцирует при трансформировании тождественный автоморфизм группы Pjf. Поэтому множество элементов группы G, индуцируюшнх тождественный автоморфизм группы PJF, составляет инвариантную подгруппу К, причем К 5 Pt. К - Р -, и поэтому группа G / P, точно представляется внутренними автоморфизмами группы PJF. [12]
При этом, если в результате выполнения данных процедур из множества информационных элементов группы Е выделяется элемент, удовлетворяющий сформулированному условию, это означает приведение группы из отношения в 1 НФ в отношение во второй нормальной форме ( 2 НФ), т.е. все остальные элементы группы, являющееся неключевыми атрибутами, являются полностью зависимыми от основного ключа. В практических случаях основной ключ группы не всегда удается выделить из множества элементов группы. В этом случае предусмотрена возможность назначения данной группе разработчиком или администратором АБД уникального либо сцепленного ключа. Если принимается решение о назначении группе уникального ключа, то это аналогично выделению основного ключа группы и, следовательно, анализируемая группа представляется отношением во 2 НФ, так как уникальный ключ представляется состоящим из одного информационного элемента предметной области, который ввиду неполной информации о составе элементов предметной области не вошел в данную группу. Если принимается решение о назначении анализируемой группе сцепленного ключа, т.е. ключа, состоящего из двух или более информационных элементов данной или других групп информационных структур, то необходимо выполнить проверку наличия возможных функциональных зависимостей неключевых атрибутов группы ( отношения) от отдельных составляющих сцепленного ключа. Данная проверка сводится к выявлению транзитивных зависимостей между отдельными составляющими ( элементами) сцепленного ключа и неключевыми атрибутами анализируемого отношения. Выявление функциональных зависимостей неключевых атрибутов группы от элементов сцепленного ключа осуществляется путем выполнения следующей последовательности операций: анализируемый сцепленный ключ вносится в список основных ключей канонической структуры БД; все элементы, образующие заданный сцепленный ключ, в свою очередь, рассматриваются как атрибуты данной группы; последовательно выполняются процедуры выявления наличия транзитивной зависимости между атрибутами сцепленного ключа и всеми остальными атрибутами данной группы; на множестве атрибутов сцепленного ключа выявляются вспомогательные ключи группы. В дальнейшем реализуются процедуры преобразования графов с учетом выделенных вспомогательных ключей группы, в результате чего формируется основная группа, определяемая введенным сцепленным ключом, и ряд дополнительных групп, определяемых вспомогательными ключами. При этом информационные составы данных групп ( отношений) будут находится во 2 НФ. Таким образом, процедуры выделения основных и вспомогательных ключей групп данных обеспечивают, в случае выявления основного ключа группы и в случаях назначения ей разработчиком БД уникального либо сцепленного ключа, приведение данных групп в отношение во 2 НФ. [13]
В ряде случаев радикал в конкретной группе может быть охарактеризован как множество элементов группы с определенными свойствами. Подобную характеристику имеют, например, радикал Вера, надниль-по 1ентный и локально нильпотентный радикалы. [14]
Рассмотрим сначала случай, когда группа G субэкспоненциальна. Для элемента b из В обозначим через F ( b) множество элементов группы G, для которых коэффициенты ag в разложении b отличны от нуля. [15]