Cтраница 2
Однако в дальнейшем мы будем часто встречаться с системами, для которых упомянутое движение, по тем или другим причинам, не принадлежит множеству допустимых движений. [16]
Рассматривая 9Г как пространстве движении Е мы докажем теорему, если покажем, что в компактном метрическом пространстве R ( которое в силу доказанной в § 1 теоремы имеет счетный базис) множество Жг неблуждающих движений непусто. [17]
Во всяком случае мы имеем все основания думать, что уравнение Шредингера, или, вернее, получающаяся при его решении функция г з, определяет не одно индивидуальное движение, а совокупность множества движений с одной и той же энергией, но с различными начальными условиями. Другими словами, механика Шредингера является до некоторой степени не просто аналитической, но статистической механикой, оперирующей не с отдельными частицами, а с собраниями множества одинаковых частиц, движущихся сходным образом независимо друг от друга. [18]
Для первых выбор момента времени для начального возмущения не влияет на дальнейший ход процесса. Множество движений, представляемых интегральными кривыми в ( n - f 1) - мерном пространстве ( х, t), допускает поэтому любые перемещения, параллельные оси времени t, и дает в качестве проекции на п-мерное фазовое пространство х семейство фазовых путей, заполняющих в случае однозначности проблемы начальных значений некоторую фазовую область. Даже при наличии свойства единственности траектории движений автономной системы могут совпадать, однако они йе могут разветвляться. Хотя расположение и вид траекторий не дают точного представления о ходе процесса, однако они позволяют судить о следовании во времени различных состояний. [19]
Если в § производится ортогональная замена базиса, то координаты всех векторов умножаются на некоторую ортонормальную матрицу Р, но к счастью, значения норм и углов при этом сохраняются. В действительности, множество всех ортогональных преобразований вместе с простыми переносами составляет хорошо известное множество движений евклидовой геометрии. [20]
Число работ, посвященных исследованию устойчивости нелинейных систем, работающих при наличии помех, невелико. Здесь в первую очередь следует отметить опубликованную еще в 1933 г. работу А. А. Андронова, А. Л. Витта и Л. С. Понтряпша 178 ], в которой была поставлена задача выделить из множества движений нелинейной динамической системы те ее движения, которые осуществляются с наибольшей вероятностью при наличии случайных помех. [21]
Проблема математического моделирования состоит в описании этих принципов отбора в тех терминах и переменных, которые наиболее полно характеризуют изучаемый предмет. Принципы отбора сужают множество допустимых движений, отбрасывая те, которые не могут быть реализованы. Чем более совершенна модель, тем уже становится множество реальных движений, тем точнее оказывается прогноз. В различных областях знания принципы отбора движений разные. [22]
Конвейерный, или групповой, труд, связанный с перемещением изделий по ходу его обработки от одного рабочего к другому. При этом работы могут быть как относительно легкими, например при сборке часов, радиоприемников, так и требующими значительных физических усилий, что наблюдается при сборке автомашин. Нередко труд на конвейере требует напряжения зрения, связан с необходимостью выполнения в единицу времени множества однообразных мелких движений. Часто конвейерный труд выполняется в условиях скопления большого числа рабочих в одном помещении. [23]
Но такая возможность встречается очень редко, так что в большинстве случаев неизбежно приходится отказываться от применения явной формулы при решении весьма важных вопросов. Это, например, имеет место при изучении проблем, являющихся решающими в изучении поведения рассматриваемой динамической системы. А именно, речь идет об исследовании характера стационарных состояний. Стационарные состояния в практически важных случаях оказывают сильное влияние на структуру множества движений, так как все другие ( нестационарные) явления с течением времени к ним стремятся. Поэтому проблемы существования постоянных и периодических решений являются первоочередными. Несмотря на то, что только устойчивые решения соответствуют реализуемым процессам, проблема устойчивости не становится от этого менее важной. [24]
С формальной точки зрения движения конечного автомата ( последовательная смена его состояний во времени под действием внешних и внутренних причин) интерпретируются как параметрическое семейство преобразований пространства состояний в себя, зависящее от входных сообщений. Естественное требование согласованности движений автомата с сочлинением фрагментов входных сообщений ( однозначность) представляет собой ограничение, при котором упомянутое семейство оказывается полугруппой по отношению к операции композиции преобразований. Изучение полугрупп, индуцируемых различными конечными автоматами, представляет значительный интерес, так как оно позволяет проникнуть в сущность качественных закономерностей динамики функционирования дискретных систем. В частности, связь строения полугрупп с функционалами, заданными на множестве движений системы, проливает свет на надежность и помехозащищенность автоматов как на частные виды устойчивости динамической системы под действием соответственно внутренних и внешних возмущений. [25]
Доказанная теорема дает полное описание всех движений, целиком находящихся в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры. Совокупность этих движений достаточно сложна. Несмотря на необычайную сложность этого множества движений, оно не изменяет своей структуры при малых гладких возмущениях правых частей дифференциальных уравнений, поскольку его описание с помощью последовательностей точечных отображений (7.80) при этом не меняется. Пока не происходит бифуркаций самой гомоклинической структуры, не происходит бифуркаций с движениями, находящимися в достаточно малой окрестности гомоклинической структуры. [26]