Cтраница 2
Для бесконечного числа точек этого, вообще говоря, сделать нельзя, так как этим точкам соответствует бесконечное множество чисел о, среди которых могут найтись и сколь угодно малые. [16]
Для бесконечного числа точек это, вообще говоря, сделать нельзя, так как этим точкам соответствует бесконечное множество чисел 6, среди которых могут быть и. [17]
Предположим противное и обозначим через / наименьшее число, для которого одной из меток / o i отмечается бесконечное множество чисел. Тогда из построения сразу следует, что функция g ( l, п) ( как функция от п) неограничена, а функция / / ( ж, г /), реализуемая формулой Ф / ( ж г /), общерекурсивна и разнозначна. [18]
С другой стороны, если - оо а оо и если - оо а 6 а, то для бесконечного множества чисел п имеем I ап А & и я е - А а А ( 6 а) ( п 1); значит, ряд ( Л, А) при а а расходится. [19]
Проводившиеся Кантором исследования, относящиеся к тригонометрическим рядам и числовым последовательностям, привели его к задаче выяснения тех средств, которые необходимы для сравнения бесконечных множеств чисел по величине. Для решения этой проблемы Кантор ввел понятие мощности ( или объема) множества, считая по определению, что два множества имеют одинаковую мощность, если члены любого из них можно сопоставить членам другого, образовав пары соответствующих членов. Поскольку между членами двух конечных множеств можно установить такое попарное соответствие в том и только в том случае, когда они имеют одинаковое число членов, мощность конечного множества можно отождествить с количественным числом. Таким образом, понятие мощности бесконечного множества представляет собой обобщение обычного понятия количественного числа. [20]
Но по отношению к бесконечному множеству значений х о, содержащихся в промежутке ЭС, так уже рассуждать нельзя: им ( при постоянном е) соответствует бесконечное множество чисел S, среди которых могут найтись и сколь угодно малые. [21]
Так как в процессе решения был переход к следствию, то необходима проверка. Проверить каждое из бесконечного множества чисел невозможно. [22]
Из определения и приведенных примеров видно, что числовой ряд представляет собой сумму бесконечно большого числа слагаемых. Что же понимать под суммой бесконечного множества чисел и всегда ли такая сумма существует. [23]
Является вопрос: всегда ли для ограниченного сверху ( снизу) множества существует точная верхняя ( нижняя) граница. Действительно, так как верхних ( нижних) границ в этом случае бесконечное множество, а среди бесконечного множества чисел не всегда найдется наименьшее или наибольшее то самое существование такого наименьшего ( наибольшего) числа из всех верхних ( нижних) границ рассматриваемого множества требует доказательства. [24]
В двадцатых годах XIX века появляются курсы ( в первую очередь Курс анализа Коши), в которых математический анализ уже систематически строится на новой базе - на идее предельного перехода в ее современном понимании. С первых шагов мы встречаемся здесь уже со строгим определением таких понятий, как бесконечно малая величина, непрерывность, дифференциал и интеграл; сумма бесконечного ряда трактуется уже как предел частичных сумм, а не как результат сложения бесконечного множества чисел, что делает возможным точное определение сходимости и строгий запрет пользования расходящимися рядами. Впервые дается доказательство существования интеграла и решения дифференциального уравнения. Как и всегда в подобных случаях, нельзя, конечно, считать эту перестройку основ единоличным делом Коши; для новых идей назрело время, они стали насущной необходимостью, они формировались в нужном направлении у многих выдающихся умов эпохи. За несколько лет до появления Курса Коши чешский философ-математик Больцано получил ряд результатов, предвосхищающих многое из того, что мы находим у Коши, и, в частности, содержащих вполне современное точное определение непрерывности, а также первый пример непрерывной функции, нигде не имеющей производной. В создании строгой теории бесконечных рядов одновременно с Коши фундаментальные результаты были получены Абелем. [25]
Наложение ( неполное) не плотной совершенной совокупности на промежуток. Полное наложение не плотной совершенной совокупности Р на промежуток ( 0 1) невозможно, так как концы дополнительного к Р промежутка суть две точки Р, между которыми других точек Р нет, в то время, как между двумя числами промежутка ( 0 1) всегда найдется бесконечное множество чисел. Но наложение может быть осуществлено, исключая исчислимое множество этих концов. [26]
Упомянем еще об одной гипотезе, относящейся к числам Мерсенна. Якобчнк высказал предположение, что если р - простое число, то число Мерсенна Мр не делится ни на один квадрат простого числа. Шинцель поставил вопрос, существует ли бесконечное множество чисел Мерсенна, являющихся произведениями различных простых чисел. [27]
Пусть а есть произвольное действительное число. Тогда вне этой окрестности будет находиться бесконечное множество чисел х и поэтому нельзя утверждать, что все числа ха, начиная с некоторого, попадут в е-окрестность числа а. А это значит, по определению, что число а не является пределом данной последовательности. Но число а - произвольное, поэтому никакое число не является пределом этой последовательности. [28]
Пусть а есть произвольное действительное число. Тогда вне этой окрестности будет находиться бесконечное множество чисел х и поэтому нельзя утверждать, что все числа хп, начиная с некоторого, попадут в е-окрестность числа а. А это значит, по определению, что число а не является пределом данной последовательности. Но число а - произвольное, поэтому никакое число не является пределом этой последовательности. [29]
Дальнейшей, более сложной, задачей является максимальное заполнение объема сигнала полезным сообщением. Анализ эффективности решения этой задачи требует измерения количества информации, содержащегося в сообщении. Эта задача успешно решена для измерения информации, представленной в дискретном виде. Однако значительно чаще происходит передача непрерывной информации, например при телефонной связи. Вообще говоря, непрерывная функция в конечном интервале времени может быть точно представлена лишь бесконечным множеством чисел, соответствующих мгновенным значениям функции. Однако практически спектр всех реальных электрических колебаний ограничен некоторой высшей частотой / в. [30]