Cтраница 2
Ясно, что 51 V %, где р пробегает любое бесконечное множество простых чисел. [16]
Если само топологическое пространство компактно, то оно обладает рядом важных свойств, делающих его обобщением замкнутой поверхности. Любое бесконечное множество в этом пространстве всегда имеет по крайней мере одну предельную точку. Примером компактного пространства может служить сфера, если рассматривать ее как пространство с обычным определением производных множеств. Напротив, обычная евклидова плоскость не будет компактным пространством. [17]
Чтобы получить ряд алефов, аксиома выбора не нужна. Однако если мы хотим, чтобы мощность любого бесконечного множества попадала в этот ряд, то здесь уже нельзя обойтись без теоремы Цермело о полном упорядочении. [18]
Хорошо известны различные конечные системы, порождающие классы Р / С. Напротив, из мощностных соображений легко следует, что для любого бесконечного множества Е класс РЕ не является конечно порожденным. [19]
Гочку а топологического пространства X называют точкой полного Ацкопления множества АаХ, если Card ( 4) Card ( 4 f U) для всякой окрестности. Показать, что для квазикомпактности X необходимо и достаточно, чтобы любое бесконечное множество АсХ обладало точкой полного накопления. Показать, что если X не квазикомпактно, то существуют начальное ординальное число юя ( Теор. [20]
Если ряд, определяемый последовательностью ( rn) ngj, сходится для любого бесконечного множества / с: N, то последовательность ( х) суммируема. [21]
Используя случай конечного а, мы получаем, что R является полу - Р1 - кольцом, так что остается показать, что для любого бесконечного множества Хе R мощности, не большей а, правый идеал XR является свободным. [22]
Как мы только что упомянули, первые два из перечисленных трех свойств непрерывных на отрезке функций вытекают из существования по крайней мере одной точки сгущения у любого бесконечного множества точек, размещенных на этом отрезке. Так вот, если некоторая часть MI метрического пространства также содержит хотя бы одну точку сгущения любой бесконечной последовательности, размещенной на MI, то ее ( эту часть) называют компактом и считают естественным обобщением понятия отрезка применительно к метрическим пространствам. [23]
Конечное множество не может быть эквивалентно своему строгому подмножеству. Это доказывается индукцией по числу / г его элементов. Наоборот, любое бесконечное множество А эквивалентно некоторому своему строгому подмножеству. Действительно, выделим элемент di ЕЕ А и положим Аг Х) d А. [24]
Означает ли оно, что на множестве К не существует отношений совершенного строгого порядка. На множестве К ( как, впрочем, и на любом бесконечном множестве) существует бесконечная система совершенных строгих порядков. [25]
Как можно задать множество, состоящее из большого числа элементов. Имеется инстинктивная тенденция различать конечные и бесконечные множества, исходящая из того, что конечное множество можно фактически представить в виде некоторой полностью составленной совокупности, а бесконечное - нельзя. Однако обширные конечные множества ( например, описанное в § 1.1 множество книг) в той же мере неисчерпаемы, как и любое бесконечное множество. Такого рода примеры приводят нас к заключению, что проблемы эффективного описания какого-либо обширного конечного множества и описания бесконечного множества практически представляют собой одну и ту же проблему. [26]