Cтраница 1
Слабо замкнутые множества в этой топологии обладают следующим свойством. [1]
Задача 1.8.2. Каждое слабо замкнутое множество ( сильно) замкнуто. Построив соответствующий пример, покажите, что обратное утверждение, вообще говоря, невсрно. [2]
Если на ограниченном слабо замкнутом множестве а рефлексивного банахова пространства Е задан слабо полунепрерывный снизу функционал, то он ограничен снизу и достигнет на а своей нижней грани. [3]
Всякое слабо ограниченное и слабо замкнутое множество слабо компактно. [4]
Доказать, что всякое слабо замкнутое множество замкнуто. [5]
В - выпуклое уравновешенное слабо замкнутое множество. [6]
Замечание 8.1. Данное здесь определение слабо замкнутого множества нормированного пространства Е не совпадает с общепринятым. [7]
В гильбертовом пространстве всякое ограниченное, слабо замкнутое множество X слабо компактно. [8]
Пусть Л - рефлексивное банахово пространство, М - ограниченное слабо замкнутое множество в X, F X - R - собственный слабо полунепрерывный снизу функционал. [9]
Тогда совокупность (18.4) для всевозможных х Е образует центрированное семейство слабо замкнутых множеств. [10]
Теорема 11 ( обобщенная теорема Вейерштрасса) Если на ограниченном слабо замкнутом множестве о в рефлексивном банаховом пространстве Е задан конечный слабо полунепрерывный снизу функционал /, то он ограничен снизу и достигает на о своей нижней грани. [11]
Если эти утверждения справедливы, то множество фОР) слабо компактно в X и потому слабо замкнуто; так как всякое слабо замкнутое множество в X подлинно замкнуто, то мы получаем требуемое заключение. [12]
Теорема 13.3. Пусть X - банахово пространство, F: X - R1 - собственный слабо полунепрерывный снизу функционал, М - выпуклое слабо замкнутое множество в X Тогда множество решений задачи (12.5) выпукло и слабо замкнуто. [13]
Таким образом, для бочечного ЛВП ( в частности, - для локально выпуклого пространства Фреше) критерием рефлексивности является слабая компактность ограниченных слабо замкнутых множеств. [14]
Но выпуклое множество Ш - К содержит нулевую точку и замкнуто в слабой топологии о ( Е Е) ( как разность слабо компактного и слабо замкнутого множества); поэтому ( см., например, [44]) оно совпадает со своей биполярой. [15]