Cтраница 1
Внутренние множества обладают следующим важным свойством. [1]
Если внутреннее множество А содержит все положительные бесконечно малые числа, то А содержит некоторое стандартное положительное действительное число. [2]
Если внутреннее множество А содержит все стандартные положительные действительные числа, то А содержит некоторое положительное бесконечно малое число. [3]
Тогда существует такое внутреннее множество So, что So с S0 и форма & имеет околостандартный носитель. [4]
В силу важности внутренних множеств мы детально опишем их в нашей модели. [5]
Лемма, ( i) Все внутренние множества В с 50, для которых т ( В) ж О, исключительны. [6]
Она окажется верной, если последовательность состоит из внутренних множеств и является убывающей: это наблюдение лежит в основе следующей леммы. [7]
Если К d X - компакт, В - внутреннее множество, и / Cf st ( jB) 0, то ограничение функции Ga (, у) на / СХ является S-ограниченным. [8]
Затем мы организуем программу решения задач таким образом, что внутреннее множество вершин используется или подтверждается только данной процедурой и ее вутренними правилами, а все остальные процедуры и правила используют или подтверждают только множество внешних вершин. [9]
Легко видеть, что каждое стандартное множество является внутренним и любой элемент внутреннего множества тоже является внутренним. Но из определения 1.2.1 и принципа переноса следует, что если А е А е ( Vfc i ( R)), то А e ( V / e ( R)); в теоретико-множественной терминологии этажи универсума транзитивны. [10]
Доказательство 2.1.6 ( 1) тоже использует лемму 2.1.7 для аппроксимации [ л ( х) изнутри внутренним множеством. Утверждение 2.1.6 ( 111) двойственно к утверждению ( И) и в дальнейших комментариях не нуждается. [11]
Суслина тогда и только тогда, когда оно является стандартной частью множества, полученного с помощью той же операции из внутренних множеств. [12]
Собственно исключительные множества являются хорошими исключительными множествами в двух смыслах: в них нельзя попасть, находясь снаружи, и они строятся из внутренних множеств простым и унифицированным способом. Следующая лемма показывает, что класс таких множеств достаточно широк. [13]
Она квазипараллельна оси у и потому может быть описана как график функции х у ( у), определенной по крайней мере для всех конечных у г / о - Но область ее определения - внутреннее множество, и потому она содержит некоторое бесконечно большое у г / о - Для всех конечных у мы имеем у ( у) Jt0 отсюда по лемме Робинсона у ( у) жхъ на некотором отрезке Уо У 2, где г / 2 У и г / 2 бесконечно велико. [14]
Теорема 3.4.6 имеет три важных преимущества по сравнению со следствием 3.4.3. Во-первых, нам не нужно больше проверять, принадлежит ли а-алгебре L ( s &) внешнее множество st - 1 ( / C), такая проверка требуется лишь для внутренних множеств 0; в большинстве приложений эти множества будут лежать даже в s &, так что проверка тривиальна. Во-вторых, требуется проверять измеримость множеств только из базы топологии; это - важное преимущество для тех пространств, в которых открытые множества не порождаются счетными операциями из элементов базы. Когда в следующем параграфе мы перейдем к приложениям, мы будем систематически использовать все три отмеченных обстоятельства. [15]