Cтраница 2
Эффект, описанный в первых двух частях этого предложения часто называют переполнением и переполнением снизу. Доказательства легко получаются из 1.2.6; например, если бы внутреннее множество А содержало все положительные бесконечно малые, но не содержало никакого положительного стандартного числа, то это множество было бы ограниченным сверху, но не имело бы точной верхней грани. [16]
Пусть 50 - гиперконечное подмножество множества Y для некоторого локально компактного хаусдор-фова пространства У, удовлетворяющего второй аксиоме счетности. Если & - регулярная форма Дирихле на So, то найдется такое внутреннее множество 50, So cz 50 с So, что модифицированная стандартная часть соответствующего процесса % является строго марковским процессом. [17]
Нужно доказать, что множество А измеримо по Лебегу. Взяв произвольное е е R, мы можем, согласно теореме 3.1.2, найти такое внутреннее множество В cz cist - 1 ( Л), что P ( B) L ( P) ( st-l ( A)) - г. Множество С si ( B) aA - компактное подмножество отрезка [0,1], и, следовательно, измеримо по Лебегу. [18]
Здесь уместно обратить внимание читателя на различие между внутренней и внешней мощностью. Внутренней мощностью отрезка п е N n / г0, где / i0 N - N, служит гиперконечное число / го; это означает, что не существует внутренней биекции этого отрезка на меньший отрезок. Это следует из того общего факта, что любое внутреннее множество либо конечно, либо несчетно. По принципу насыщения 2.1.2 [ Ап Ф 0, что противоречит предположению. Точное значение внешней мощности внутреннего множества зависит от того, какая конкретно выбрана конструкция ультрастепени. Но для нашей теории важным понятием является внутренняя мощность, а она обладает хорошими свойствами. [19]
Здесь уместно обратить внимание читателя на различие между внутренней и внешней мощностью. Внутренней мощностью отрезка п е N n / г0, где / i0 N - N, служит гиперконечное число / го; это означает, что не существует внутренней биекции этого отрезка на меньший отрезок. Это следует из того общего факта, что любое внутреннее множество либо конечно, либо несчетно. По принципу насыщения 2.1.2 [ Ап Ф 0, что противоречит предположению. Точное значение внешней мощности внутреннего множества зависит от того, какая конкретно выбрана конструкция ультрастепени. Но для нашей теории важным понятием является внутренняя мощность, а она обладает хорошими свойствами. [20]