Cтраница 2
Следствие 17.1.2. Пусть С, i 6 / - произвольное семейство непустых выпуклых множеств в Ш и / С - выпуклый конус, порожденный объединением множеств семейства. [16]
Поскольку она замкнута, выпукла и собственная, то является индикаторной функцией замкнутого, непустого, выпуклого множества. [17]
Следующий факт будет использован нами в § 6 при доказательстве того, что непустое выпуклое множество имеет непустую относительную внутренность. [18]
Для любого непустого выпуклого аффинно открытого множества X и любого непересекающегося с ним непустого выпуклого множества У существует отделяющая гиперплоскость. [19]
Если точки пространства 31 представлять описанным выше способом как лучи в Шп г, то непустое выпуклое множество С будет представлено объединением лучей, представляющих точки этого множества. [20]
Один из самых важных в теории субградиентов частных случаев возникает, когда / - индикаторная функция непустого выпуклого множества С. [21]
Аналогично устанавливается топологический вариант теоремы об отделяющей гиперплоскости: для любого непустого открытого множества X и любого не пересекающегося с ним непустого выпуклого множества Y существует отделяющая замкнутая гиперплоскость. [22]
Читатель может доказать в качестве простого упражнения, что имеет место более общий факт, а именно, что относительная внутренность выпуклого конуса, порожденного непустым выпуклым множеством С в Шп, состоит из векторов вида Кх, где А, 0 и х 6 ri С. [23]
Определение 6.2. Пусть / 4 - гиперплоскость в ( п 1) - мерном аффинном пространстве Л 1, не содержащая начало координат о пространства / 4, и пусть К - непустое выпуклое множество в Ап. Тогда совокупность всех замкнутых лучей в An l, выходящих из о и содержащих точки множества К, называют проекционным конусом С ( К) множества К с вершиной о. Очевидно, конус С ( К) выпуклый. [24]
Тогда каждое максимальное не содержащее р непустое выпуклое множество Sp С: Ап называется флаговым полупространством. [25]
Теорема 13.2. Индикаторная функция и опорная функция выпуклого замкнутого множества являются функциями, сопряженными друг к другу. Совокупность функций, являющихся опорными функциями непустых выпуклых множеств, совпадает с множеством всех замкнутых собственных выпуклых положительно однородных функций. [26]
Вогнуто-выпуклые функции / С и L, определенные на Rm х R, называются эквивалентными, если сЦ / С cli L и с. Например, нижнее и верхнее простые продолжения конечной седловой функции, определенной на непустом выпуклом множестве С X D, эквивалентны. Из свойств оператора замыкания для выпуклых и вогнутых функций с очевидностью следует, что эквивалентные седловые функции должны почти совпадать. [27]
Для этого следует применить операцию сопряжения к калибровочным функциям выпуклых множеств. Разумеется, калибровочная и индикаторная функции непустого выпуклого множества совпадают, если это множество является конусом. [28]