Cтраница 1
Полуалгебраическое множество в Е определяется как конечное объединение подмножеств, каждое из которых задается конечной системой полиномиальных уравнений и неравенств. [1]
Полуалгебраические множества являются обобщениями алгебраических множеств, задаваемых системами полиномиальных уравнений. [2]
Образ полуалгебраического множества при полиномиальном отображении полуалгебраичен. [3]
Проекция полуалгебраического множества на подпространство является полуалгебраическим множеством. [4]
Замыкание каждого страта U есть полуалгебраическое множество. [5]
Проекция полуалгебраического множества на подпространство является полуалгебраическим множеством. [6]
Аналогичное разбиение на страты существует и для полуалгебраических множеств ( см., например, триангуляционную теорему С. [7]
А если множество конструктивно, то его можно разбить на полуалгебраические множества, и для них посчитать х ( Х) - Другой вариант такой: конструктивное множество можно разбить на конечное число клеток и посчитать альтернированную сумму количеств клеток разных размерностей. [8]
Пересечение каждого из семейств А и В с множеством устойчивых струй не является полуалгебраическим множеством. В работе [8] Арнольд высказал следующую гипотезу: Можпо ожидать, что граница устойчивости, потеряв алгебраичность и ничем более не сдерживаемая, будет представлять патологии на теоретико-множественном уровне. [9]
Если неравенства не нужны, то множество называется алгебраическим. Полезным свойством полуалгебраических множеств является следующая теорема ( доказательства см. в A. [10]
Более того, полуалгебраическое множество X может быть представлено в виде несвязного объединения конечного числа открытых клеток, так что граница каждой клетки ( ее замыкание минус она сама) лежит в объединении клеток меньшей размерности. Это не означает, что пространство X представлено в виде CW-комплекса, поскольку, вообще говоря ( для некомпактных пространств), отсутствуют отображения замкнутых шаров в пространство X, которые определяют клетки. Можно показать, что эйлерова характеристика ( полуалгебраического) множества X равна альтернированной сумме количеств клеток различных размерностей. Алгебра, порожденная полуалгебраическими множествами, состоит из конструктивных множеств. Всякое конструктивное множество может быть представлено в виде несвязного объединения конечного числа полуаналитических множеств. Эйлерову характеристику конструктивного множества, обладающую свойством аддитивности, следует определить как сумму эйлеровых характеристик соответствующих полуалгебраических множеств. [11]
В самом деле, переход к проекции приводит к добавлению квантора существования, который можно затем элиминировать. Утверждение о полуалгебраичности проекции полуалгебраического множества по существу равносильно теореме Тарского-Зайденберга, так как элиминация квантора существования является единственным нетривиальным шагом в доказательстве этой теоремы. [12]
Такая конструкция с эйлеровой характеристикой бывает для каких-то задач полезной, но для исходной задачи о числах Ходжа-Делиня в зеркальной симметрии нужно рассматривать не только эйлерову характеристику, но и другие меры, аддитивные и мультипликативные. Есть способ, который позволяет определить наиболее общую аддитивную и мультипликативную функцию на конструктивных подмножествах. Этот способ состоит в следующем. Рассмотрим все полуалгебраические множества и построим группу Гротендика, образующими которой являются эти полуалгебраические множества. На эти полуалгебраические множества нужно наложить некоторые соотношения. С точки зрения инвариантов группа Гротендика К - это та самая группа, в которой принимает значение самая обобщенная эйлерова характеристика, какая только может быть, потому что группа Гротендика К - это универсальный объект для всех аддитивных гомоморфизмов алгебры полуалгебраических множеств. Группа К является также и кольцом: прямое произведение множеств задает в / С структуру кольца. [13]
Такая конструкция с эйлеровой характеристикой бывает для каких-то задач полезной, но для исходной задачи о числах Ходжа-Делиня в зеркальной симметрии нужно рассматривать не только эйлерову характеристику, но и другие меры, аддитивные и мультипликативные. Есть способ, который позволяет определить наиболее общую аддитивную и мультипликативную функцию на конструктивных подмножествах. Этот способ состоит в следующем. Рассмотрим все полуалгебраические множества и построим группу Гротендика, образующими которой являются эти полуалгебраические множества. На эти полуалгебраические множества нужно наложить некоторые соотношения. С точки зрения инвариантов группа Гротендика К - это та самая группа, в которой принимает значение самая обобщенная эйлерова характеристика, какая только может быть, потому что группа Гротендика К - это универсальный объект для всех аддитивных гомоморфизмов алгебры полуалгебраических множеств. Группа К является также и кольцом: прямое произведение множеств задает в / С структуру кольца. [14]
Такая конструкция с эйлеровой характеристикой бывает для каких-то задач полезной, но для исходной задачи о числах Ходжа-Делиня в зеркальной симметрии нужно рассматривать не только эйлерову характеристику, но и другие меры, аддитивные и мультипликативные. Есть способ, который позволяет определить наиболее общую аддитивную и мультипликативную функцию на конструктивных подмножествах. Этот способ состоит в следующем. Рассмотрим все полуалгебраические множества и построим группу Гротендика, образующими которой являются эти полуалгебраические множества. На эти полуалгебраические множества нужно наложить некоторые соотношения. С точки зрения инвариантов группа Гротендика К - это та самая группа, в которой принимает значение самая обобщенная эйлерова характеристика, какая только может быть, потому что группа Гротендика К - это универсальный объект для всех аддитивных гомоморфизмов алгебры полуалгебраических множеств. Группа К является также и кольцом: прямое произведение множеств задает в / С структуру кольца. [15]