Cтраница 2
Метод Монте-Карло для канонического ансамбля Программа представляет собой адаптацию алгоритма, описанного в разделе 4.3.3. Ее цель - моделирование двумерной модели Изинга с переворотом спина. Для ознакомления с другими методами оптимизации программы моделирования модели Изинга отсылаем читателя к [1, 2], где описан метод мультиспинового кодирования. [16]
Через несколько лет, в 1952 г., Кац и Уорд в работе [6] предложили новый геометрический подход к выводу статистической суммы Z ( / 3) двумерной модели Изинга. [17]
Двумерная модель Изинга позволяет получить точные результаты: а - 0 и р / 8 - Поэтому равенство AI Д2 15 / 8 точное, если Y 7 / 4 - Численные расчеты Эссама и Фишера [69] дали для АЗ результат АЗ 1 87 0 05 15 / 8, поэтому вывод о том, что Дг 15 / 8 для всех / в двумерной модели Изинга, кажется вполне вероятным. [18]
Одно из оснований для исследования моделей с дискретными переменными заключается в том, что такие модели часто гораздо легче поддаются анализу. Например, двумерная модель Изинга является точно решаемой для термодинамических функций, хотя в ней есть нетривиальный ферромагнитный фазовый переход. Исследование моделей с дискретными группами симметрии может помочь в понимании фазовой структуры калибровочных теорий, а также дать возможность апробации новых методов. [19]
В цитированной выше литературе численными методами найдены неподвижные точки и показатели определенной выше РГ для дискретных спинов. Эти показатели и другие величины для двумерной модели Изинга благодаря решению Онсагера известны точно и их можно использовать для проверки численных РГ результатов. Все полученные до сих пор результаты хорошо согласуются с соответствующими точными значениями. Однако имеются и такие вопросы, ответа на которые пока еще не получено. [20]
Только при N - x нули статистической суммы ( 67) могут оказаться на действительной оси. Точный анализ этой статсуммы проведен лишь для двумерной модели Изинга. [21]
Хотя соотношения Мигдала - Каданова, по-видимому, правильно предсказывают значение критической размерности, а также существование некоторых фазовых переходов, характер этих переходов определяется не всегда правильно. Предсказывается, что четырехмерная Zj-калибровочная модель подобна двумерной модели Изинга, тогда как в действительности в первой модели имеет место фазовый переход первого рода, а во второй - второго рода. [22]
Можно, например, считать, что он начался в 40 - х годах с работы Гугенгейма [121], где было установлено, что кривая сосуществования2) в жидкой системе имеет не параболическую, а более сложную форму, или с работы Онсагера, в которой было дано точное решение двумерной модели Изинга. С другой стороны, начало его можно отнести к несколько более позднему времени, например к началу 60 - х годов, когда экспериментаторы Геллер, Бенедек и Жакро вместе с теоретиками Домбом, Рашбруком, Фишером и Маршаллом пришли к заключению, что некоторые физические характеристики, скажем показатели степени в критической точке, заслуживают особого внимания. [23]
Но в пространствах с большей размерностью приходится делать приближения. Рассмотрим двумерную модель Изинга. [24]
Предполагается, что потенциальная энергия двух атомов, находящихся в одном и том же положении, бесконечна. Между несоседними атомами взаимодействие отсутствует. Такой решеточный газ может быть описан двумерной моделью Изинга, для которой Онзагер [298] путем сложного вывода получил точное выражение для функции распределения. [25]
Одним из наиболее интересных явлений физики твердого тела является ферромагнетизм. В некоторых металлах, например Fe и Ni, конечная часть спинов атомов оказывается спонтанно ориентированной в некотором направлении, что вызывает появление макроскопического поля Модель Изинга явилась грубой попыткой отразить структуру реального физического ферромагнетического домена. Главное ее достоинство заключается в том, что двумерная модель Изинга может быть точно исследована методами статистической механики. Геометрическая структура решетки может быть, например, кубической или гексагональной. [26]
Поскольку до сих пор никто не сумел найти точного решения трехмерной модели Изинга ( и так как некоторые исследователи утверждают, что это, возможно, вообще неразрешимая задача. В настоящее время модель Гейзенберга нельзя решить точно даже для двумерных решеток, поэтому такой способ приближения представляется нам бесплодным. Однако несколько лет назад Берлин и Кац [23] получили довольно интересные решения ( и для двух - и для трехмерных решеток) на примере скорее нефизической модели ( так называемой сферической модели), которая в некотором отношении подобна модели Изинга. Однако показатели степени в критической области, полученные с помощью сферической модели, столь же плохо согласуются с экспериментом, как и результаты двумерной модели Изинга. Главным достижением сферической модели является то, что она представляет собой один из очень малочисленных нетривиальных примеров системы многих частиц, который можно решить точно для трех измерений. Этим утверждением мы не пытаемся приуменьшить значение модельных систем, которые пока не имеют эквивалента в виде реальной физической системы. Обычно теоретическая модель сама по себе дает много вопросов для обсуждения, и часто предсказания теоретической модели инициируют успешные исследования соответствующей физической системы. [27]
При любом обсуждении изинговской модели большое значение придается решению Онсагера [246], которое он получил для функции распределения при Я О для двумерной решетки. Из вида функции распределения он сумел показать, что удельная теплоемкость в точке Т Тс обладает логарифмической расходимостью при приближении к ней как со стороны высоких, так и со стороны низких температур. Этот результат находился в резком противоречии с предсказаниями теории молекулярного поля и другими теориями кооперативных явлений того времени, поскольку все они предсказывали просто разрыв непрерывности удельной теплоемкости в этой точке ( фиг. В частности, этот результат Онсагера показал, что классификация Эренфеста, согласно которой производная от свободной энергии претерпевает разрыв, до известной степени неадекватна описанию фазового перехода с помощью двумерной модели Изинга. [28]
Восприимчивость в двумерной модели Изинга не рассчитана до сего дня и поэтому в табл. 1.1 даны лишь приблизительные ( хотя и весьма достоверные) значения показателя у - Величины, приведенные в табл. 1.1, были получены не обычным способом приближений с конечным числом членов, а скорее путем экстраполяции, основанных на методе последовательных приближений, в котором принимаются в расчет корреляции все более высоких порядков. Так, с помощью такого рода приближений невозможно описать тот факт, что, хотя взаимодействие между отдельными магнитными моментами обычно является чрезвычайно короткодействующим ( например, оно распространяется только на соседние моменты), это взаимодействие тем не менее передается от одного момента к следующему, создавая преимущественное направление для всех магнитных моментов. Это приводит к тому, что при приближении к критической точке радиус действия результирующего порядка становится бесконечным. В частности, такие методы аппроксимации, когда последовательно учитываются корреляции все более высоких порядков, продемонстрировали решающую роль размерности решетки в определении критического поведения системы. Поэтому тот факт, что критические показатели степеней, приведенные в табл. 1.1 для двумерной модели Изинга, не согласуются с большинством экспериментальных данных, полученных на простых жидкостях, вовсе не обязательно свидетельствует о несостоятельности интуитивно вполне правдоподобной модели решеточного газа. [29]