Cтраница 2
Как легко заметить, это доказательство в основном базируется на существовании насыщенных моделей и, следовательно, использует ОКГ. [16]
Большинство теорем об устойчивости были доказаны до того, как были введены насыщенные модели. Тем не менее насыщенные модели позволяют найти единый подход к этим вопросам. [17]
Тогда теория Т полна, если и только если любые две ее насыщенные модели мощности coj изоморфны. [18]
Доказательство, ( i) Если теория Т полна, то любые две ее насыщенные модели одинаковой мощности элементарно эквивалентны и, следовательно, изоморфны. Так как все модели теории Т бесконечны, 7 и Г2 имеют о - насыщенные модели Яц ЭД2 мощности 2Ш ( BJ. [19]
Так как они к тому же эквивалентны, то по теореме 5.1.13 об единственности насыщенных моделей они изоморфны. [20]
Для следующей и последней теоремы этого раздела мы не воспользуемся методом, связанным с теоремой 7.2.1, а вернемся к методу насыщенных моделей, введенному в разд. [21]
SS имеет мощность а, тогда модели ( Я, x) xtx и ( 33, yx) xtx насыщенны в мощности а, а любые две насыщенные модели одной мощности изоморфны. [22]
Большинство теорем об устойчивости были доказаны до того, как были введены насыщенные модели. Тем не менее насыщенные модели позволяют найти единый подход к этим вопросам. [23]
Все наши приложения из разд. В некоторых случаях метод насыщенных моделей может быть также применен к неполным теориям для того, чтобы получить полезное описание всех полных расширений данной теории. В качестве иллюстрации мы рассмотрим классификацию полных расширений теории булевых алгебр. Аксиомы этой теории приведены в примере 1.4.3, некоторые простые определения и результаты содержатся в примере 1.4.3 и в упражнениях из разд. Кроме этого мы будем предполагать, что у читателя уже есть некоторый, хотя не обязательно обширный, опыт работы с булевыми алгебрами. Приведенная здесь классификация будет использована в разд. [24]
Основными темами этого раздела являются теорема Морли об опускании типов и некоторые теоремы Чэна и Вота относительно проблемы двух кардиналов. Кроме методов неразличимых элементов и насыщенных моделей, мы вводим принадлежащий Морли метод, использующий теорему о разбиении Радо - Эрдеша для построения моделей со специальными свойствами. Раздел заканчивается обсуждением гипотезы об м-разрыве и связанных с ней проблем, что естественно приводит нас к вопросам, рассматриваемым в следующем разделе. [25]
По предыдущей лемме любые две сог насыщенные модели полной теории Т имеют одинаковый ранг. Теория Т называется тотально трансцендентной, если ее ранг есть ординал, меньший, чем со. [26]
В этой главе мы продолжим изучение ультрапроизведений, начатое в гл. Раздел 6.1 свяжет понятие ультрапроизведения и понятие насыщенной модели; он также содержит очень изящное описание элементарных классов. В остальных разделах рассматриваются различные обобщения конструкции ультрапроизведения. [27]
Доказательство, ( i) Если теория Т полна, то любые две ее насыщенные модели одинаковой мощности элементарно эквивалентны и, следовательно, изоморфны. Так как все модели теории Т бесконечны, 7 и Г2 имеют о - насыщенные модели Яц ЭД2 мощности 2Ш ( BJ. [28]
Насыщенные модели являются фактически обобщением ща-множеств Хаусдорфа. Эти т ] а-множества, являющиеся очень частным видом плотно упорядоченных множеств, знакомят нас с поучительным примером насыщенных моделей. [29]
Таким образом, в общем случае существование бесконечных насыщенных моделей не может быть доказано без ОКГ или без предположения о существовании недостижимых кардиналов. Конечно, как мы уже отмечали вначале этого раздела, некоторые ( очень специальные) теории могут иметь бесконечные ( счетно -) насыщенные модели. Оказывается, что во многих ситуациях насыщенные модели можно заменить специальными. Понятие специальной модели является обобщением понятия насыщенной модели, причем насыщенные модели образуют собственный подкласс класса специальных моделей. Важно, что доказательство существования специальных моделей не требует ОКГ или существования недостижимых кардиналов. [30]