Cтраница 2
В классической теории инвариантов рассматриваются задачи поиска инвариантов для следующих математических объектов: вектора, матрицы, линейные и квадратичные формы. Редуцированная модель получается в результате простого вычеркивания малозначащих пар независимых инвариантов. Следуя работам [1, 38] перечислим те инварианты, на основе которых ниже описаны методы редукции. [16]
Причина большой погрешности при ступенчатом воздействии объясняется тем, что исходная и редуцированная системы обладают различными коэффициентами передачи. В работе [13] предложен метод квазистатического усечения сбалансированного представления. Эта методика воспроизводит в редуцированной модели такие же коэффициенты передачи, как и в исходной системе. [17]
Для реализации этой методики исходная система высокого порядка должна быть внутренне сбалансированной. Это означает, что ее грамианы управляемости и наблюдаемости диагональные и равны между собой. Если это условие выполняется, то редуцированную модель можно получить, оставляя в сбалансированном представлении исходной модели сингулярные числа с наибольшими значениями. Малые сингулярные числа соответствуют, той части подсистемы, которая в наименьшей степени управляема и потому наименее наблюдаема. Показано, что входо-выходное поведение редуцированной модели не сильно отличается от поведения исходной системы. Полное теоретическое обоснование этого результата остается открытым. Если в работе [7] рассматриваются непрерывные модели, то в работах [9-10] рассматривается дискретное время для редукции внутренне сбалансированных моделей высокого порядка. В статье [11] предложена редукция и непрерывных и дискретных по времени моделей, заданных в пространстве состояний. Особое внимание уделено установлению свойств устойчивости. В статье [14] представлено несколько альтернативных методов понижения порядка системы, основанных на сбалансированном представлении системы. Среди них следует отметить метод прямого усечения сбалансированного представления и метод квазистатического усечения сбалансированной системы. [18]
Они также являются инвариантами передаточной функции. Если исходная система является устойчивой, то такой подход гарантирует устойчивость и редуцированной модели. [19]
Сложность решения этой задачи была обусловлена отсутствием математической связи между вектором состояния системы высокого порядка и вектором состояния редуцированной модели. В [5] на основе методики Дэвисона эта связь предложена в виде так называемой агрегативной матрицы. В работе показано, что, если исходная система высокого порядка с обратной связью устойчива, то асимптотически устойчивой будет и ее редуцированное представление. [20]
При моделировании практически важных систем ( таких как камера сгорания реактивного двигателя, дизельный двигатель или бензиновый двигатель внутреннего сгорания с прямым впрыском топлива) в модель должны быть включены субмодели для всех физических процессов. Как уже отмечалось, все эти субмодели разрабатываются до определенного уровня детализации так, чтобы глобальная модель не требовала слишком больших вычислительных ресурсов. Например, разрушение струи, дробление капель, испарение капель, турбулентное перемешивание, газофазная химическая кинетика и ряд других процессов очень часто описываются при помощи упрощенных моделей, часто называемых глобальными или редуцированными моделями. [21]
Известно множество работ направленных на развитие этого метода для систем, заданных в пространстве состояний. Однако в [20], видимо, впервые сделано расширение этой технологии за счет частотного взвешивания. Устойчивость редуцированной модели при этом подходе гарантированна только в том случае, если взвешиванию подвергается один из входов. В [21-22] показано, что при взвешивании обоих входов устойчивость не гарантируется. Там же предложены и некоторые модификации метода взвешивания сбалансированных систем. [22]
Для линейной стационарной модели высокого порядка, заданной в пространстве состояний, в работе Дэвисона [2] предложена методика построения модели более низкого порядка. Вектор состояния редуцированной модели включает в себя некоторые компоненты исходного вектора состояния. Формализованная технология выбора этих компонент отсутствует. Какие компоненты включить в редуцированный вектор состояния решает только специалист в конкретной предметной области. Для редуцированного вектора состояния матрица редуцированной модели формируется таким образом, чтобы ее собственные значения совпадали с собственными значениями матрицы исходной модели. [23]
Для реализации этой методики исходная система высокого порядка должна быть внутренне сбалансированной. Это означает, что ее грамианы управляемости и наблюдаемости диагональные и равны между собой. Если это условие выполняется, то редуцированную модель можно получить, оставляя в сбалансированном представлении исходной модели сингулярные числа с наибольшими значениями. Малые сингулярные числа соответствуют, той части подсистемы, которая в наименьшей степени управляема и потому наименее наблюдаема. Показано, что входо-выходное поведение редуцированной модели не сильно отличается от поведения исходной системы. Полное теоретическое обоснование этого результата остается открытым. Если в работе [7] рассматриваются непрерывные модели, то в работах [9-10] рассматривается дискретное время для редукции внутренне сбалансированных моделей высокого порядка. В статье [11] предложена редукция и непрерывных и дискретных по времени моделей, заданных в пространстве состояний. Особое внимание уделено установлению свойств устойчивости. В статье [14] представлено несколько альтернативных методов понижения порядка системы, основанных на сбалансированном представлении системы. Среди них следует отметить метод прямого усечения сбалансированного представления и метод квазистатического усечения сбалансированной системы. [24]