Cтраница 1
Модификация метода Ньютона не снимает проблемы подбора достаточно хорошего начального приближения, хотя и заметно ослабляет остроту этого вопроса. Опыт показал, что использование каких-либо содержательных соображений в целях нахождения хорошего начального приближения 1 крайне затруднительно даже в тех задачах, где подбор разумного приближения в терминах управляющей функции и ( t) сравнительно прост. Пожалуй, единственным выходом является решение задачи каким-либо иным методом, достаточно надежно дающим относительно грубое приближенное решение. Такие приближенные методы в настоящее время разработаны, отличительной их чертой является то. Фигурирующий в принципе максимума вектор g тоже, как правило, получается с хорошей точностью. Создание приближенного метода решения задач оптимального управления, соединяющего надежность и эффективность с хорошей точностью по всем компонентам задачи возможно, видимо, лишь комбинированием методов грубого поиска минимума с последующим уточнением точного вида решения, основанным на использовании характеризующих его уравнений типа принципа максимума или уравнения Эйлера. [1]
Модификации метода Ньютона можно подразделить на две группы: к первой относятся методы, уменьшающие количество вычислений на каждой итерации, ко второй - методы, увеличивающие область сходимости метода. [2]
Известно несколько модификаций метода Ньютона. [3]
Одной из таких модификаций метода Ньютона является метод сопряженных градиентов [58], в котором поиск организуется вдоль векторов, являющихся сопряженными. Понятие Q-сопряженности векторов С и В при заданной матрице Q основано на соблюдении условия равенства нулю скалярного произведения: С, QB 0, где Q - квадратная матрица того же порядка, что и размерность векторов С и В. [4]
Ниже приведен ряд модификаций метода Ньютона, целью которых является исправление некоторых из первых пяти перечисленных недостатков. [5]
В настоящее время предложена модификация метода Ньютона, которая не требует вычисления на каждой итерации матрицы частных производных, но этот метод не всегда сходится. Вольфа при достаточно хорошем начальном приближении сходится примерно с такой же скоростью, как и метод Ньютона, Метод Вольфа выгодно отличается от метода Ньютона тем, что не требует вычисления матрицы частных производных. Во-первых, при большом п может потребоваться большая вычислительная работа. [6]
В настоящее время предложена модификация метода Ньютона, которая не требует вычисления на каждой итерации матрицы частных производных, но этот метод не всегда сходится. Метод Вольфа выгодно отличается от метода Ньютона тем, что не требует вычисления матрицы частных производных. Однако в этом методе для начала работы требуется иметь п 1 начальных приближений, что неудобно в общем по-двум причинам. Во-первых, при большом п может потребоваться большая вычислительная работа. [7]
Мы рассмотрим ниже две модификации метода Ньютона, которые используют не точные значения, а некоторые приближенные аналоги матрицы вторых производных. В результате уменьшается трудоемкость методов, но, конечно, ухудшается их сходимость. [8]
В работе [9 ] была предложена модификация метода Ньютона, не требующая вычисления на каждой итерации матрицы частных производных, но этот метод не всегда сходится. Метод Вольфа при достаточно хорошем начальном приближении сходится примерно с такой же скоростью, как и метод Ньютона, но выгодно отличается от него тем, что не требует вычисления матрицы частных производных. Однако в этом методе для начала работы требуется иметь п 1 начальных приближений, что неудобно в общем по двум причинам. Во-первых, при большом п может потребоваться большая вычислительная работа. [9]
Популярный и широко используемый класс модификаций метода Ньютона образуют квазинъю-тоновские методы, в которых не используется вычисление вторых производных. [10]
Указанные преимущества в сочетании с модификацией метода Ньютона, обеспечивающей коррекцию вектора приращений аргументов на каждом итерационном шаге, сокращают время счета рабочей точки. [11]
Таким образом, в описанной ситуации модификация метода Ньютона работает точно так же, как симплекс-метод. В задаче квадратичного программирования матрица G постоянна и можно, пересчитывая спроектированную матрицу Гессе ZTGZ при изменениях в составе базиса, двигаться от минимума на одном многообразии к минимуму на другом. [12]
В последние годы было предложено много модификаций метода Ньютона, которые способны преодолеть указанную трудность. [13]
В этом параграфе при помощи принадлежащей А. Н. Колмогорову модификации метода Ньютона доказывается теорема об аналитических диффеоморфизмах окружности, близких к повороту и имеющих почти любое число вращения. [14]
Существенная экономия машинного времени получается, если использовать предложенную Л. В. Канторовичем модификацию метода Ньютона. [15]