Cтраница 2
S ( f) b имеет модуль непрерывности w ( S ( /)) и. В частности, если f липшицева с константой С, то 5 ( /) также липшицева с этой константой. [16]
Доказательство проведем сначала для случая, когда модуль непрерывности ш выпуклый. [17]
О ( п), и ее модуль непрерывности ш ( 8) удовлетворяет условию ш ( - In Lr - 0 при п - оо; пусть, кроме того, для некоторой монотонно возрастающей и стремящейся к бесконечности 9 ( п) имеем ш f - I In Q ( ri) - - 0 при п - со. Тогда ряд Фурье от / ( х) сходится к ней равномерно. [18]
В том случае, если о - выпуклый модуль непрерывности, неравенство, полученное при доказательстве следствия, может быть усилено. [19]
Доказательство этого свойства вытекает непосредственно из определения модуля непрерывности функции и определения равномерной непрерывности. [20]
Тогда можно оценить независимо от п распределение модуля непрерывности случайной траектории и показать, что со сколь угодно большой вероятностью имеет место равностепенная непрерывность. [21]
Как показано ниже, условия, наложенные на модуль непрерывности по вероятности, позволяют получить неравенства для модуля выборочной непрерывности. [22]
Отсюда уже легко свести доказательство теоремы 2 о модулях непрерывности к ранее доказанной теореме 1, выраженной в терминах наилучших приближений. [23]
Доказанные выше свойства модуля непрерывности функции означают, что модуль непрерывности любой равномерно-непрерывной на М функции / есть модуль непрерывности в смысле только что данного определения. [24]
Имеют место и формулы, выражающие, наоборот, модули непрерывности через наилучшие приближения. [25]
Обозначим теперь через ш ( б; /) модуль непрерывности функции / на всей числовой оси. [26]
Сделаем еще одно замечание к вопросу о связи между модулем непрерывности функции и абсолютной сходимостью ее ряда Фурье. [27]
Эти условия такого характера: для всех функций, имеющих модуль непрерывности, достаточно быстро стремящийся к нулю, или наилучшие приближения, достаточно быстро стремящиеся к нулю, можно гарантировать абсолютную сходимость ряда Фурье. В § 4 рассматривается вопрос о том, в какой мере найденные условия являются необходимыми. При этом выясняется, что снизить найденные оценки для модуля непрерывности или для наилучших приближений нельзя, если говорить о целом классе функций; но эти результаты не могут считаться исчерпывающими вопрос, когда речь идет об индивидуально заданной функции. Как видно из § 5, вообще нельзя ожидать, чтобы этот последний вопрос мог решаться путем рассмотрения скорости убывания модуля непрерывности, так как у двух функций с одинаковым модулем непрерывности ряды Фурье могут себя вести по-разному в проблеме абсолютной сходимости. Возникает поэтому вопрос о критериях, которые годились бы для индивидуально заданной функции. Критерий Рисса имеет то достоинство, что он формулируется для любой функции; однако практически его применить пока удается лишь в тех случаях, когда проблема решается и без него. Критерий Стечкина также носит общий характер, но практически применим лишь в очень простых случаях. Критерий Шилова относится лишь к функциям, удовлетворяющим некоторым ограничительным условиям, но зато может быть практически использован. [28]
В качестве следствия теоремы 9.27 получаются оценки глобального и граничного модулей непрерывности решений. [29]
Рассматривается задача интегрирования для класса скалярных функций нескольких переменных с ограниченным модулем непрерывности. Найдены оптимальные точки информации и оптимальные веса линейных кубатурных формул. [30]