Cтраница 2
Единственное безусловно общее и логически совершенное средство избежать этого затруднения заключается в рассмотрении таких выражений, которые бы но самой своей форме исключали в случае своей сходимости возможность существования особенности в точке р 0; это осуществляется нормами. По и сохраняя тригонометрические модули, можно указать более или менее общие искусственные приемы, которые в иных случаях приводят к тем же результатам, что и применение норм. [16]
Единственное безусловно общее и логически совершенное средство избежать этого затруднения заключается в рассмотрении таких выражений, которые бы по самой своей форме исключали в случае своей сходимости возможность существования особенности в точке р 0; это осуществляется нормами. Но и сохраняя тригонометрические модули, можно указать более или менее общие искусственные приемы, которые в иных случаях приводят к тем же результатам, что и применение норм. [17]
Неравенства ( 42) могут вполне заменить неравенства ( 36) при применении способа последовательных приближений, благодаря чему нет надобности воспроизводить еще раз сделанное выше рассуждение. Мы получим, таким образом, решение и данного уравнения, имеющее конечный тригонометрический модуль внутри контура а. Отсюда ясно, что функция и, а также все ее производные первых двух порядков суть аналитические функции относительно переменной р, по a priori не очевидно, что решение и должно быть аналитическим относительно обеих переменных. Для того, чтобы это доказать, заметим прежде всего, что те же соображения, что и в первом доказательстве, позволяют установить тождественность найденного решения и и решения г, из которых мы исходили. Следовательно, передвигая по произволу центр окружностей С и Сь мы приходим к заключению, что z и ее производные первых двух порядков суть аналитические функции относительно каждой из переменных х и у, взятой в отдельности. [18]
Тригонометрические модули, которые несомненно не превосходят норм, могут быть ограничены сверху для всякой функции, производная которой ограничена. Таким образом, обе функции z и и вместе с их производными вторых порядков имеют свои конечные тригонометрические модули. [19]
Вместе с тем из рассуждения ( см. [15.1]), посредством которого наша лемма была установлена, следует, что для данного уравнения нижняя граница а зависит только от взрхних границ тригонометрических модулей рассмотренного решения и его первых производных. Ограничиваясь в данный момент установлением достаточных условий для возможности задачи Дирихле, мы видим, что вопрос снова приводится к исследованию уравнений, для которых можно a priori при помощи задания на контуре ограничить сверху тригонометрические модули, фигурирующие в рассматриваемом вопросе. [20]