Cтраница 1
Неразложимые модули играют весьма важную роль в теории алгебр. Они будут нам часто встречаться в последующих главах. [1]
Следствие 4.2 - Всякий неразложимый модуль над однорядной алгеброй изоморфен фактормодулю главного модуля. Ввиду двойственности всякий неразложимый модуль над однорядной алгеброй изоморфен также подмодулю главного модуля. [2]
При изучении строения алгебр нам встретились неразложимые модули весьма специального вида, а именно прямые слагаемые модуля АА. В частности, такие модули проективны. [3]
А) индуцирует инъективное отображение множества классов изоморфизма главных неразложимых модулей в множество простых модулей. [4]
Показать, что любая конечномерная алгебра Ли характеристики р имеет неразложимые модули произвольно большой конечной размерности. [5]
Очевидно, всякий ( конечномерный) модуль можно разложить в прямую сумму неразложимых модулей. Поэтому если нам известны неразложимые модули над какой-либо алгеброй А, то мы можем описать все Л - мо-дули. Однако во многих случаях описание неразложимых модулей - это очень трудная задача, подчас недоступная известным в настоящее время методам. [6]
Конечно порожденные правые модули над артиновой справа алгеброй А представимы в виде прямой суммы неразложимых модулей, причем, согласно теореме Крулля - Шмидта, такое представление единственно. Поэтому для дальнейшего развития теории Л - модулей необходимо уделить пристальное внимание неразложимым модулям. В настоящее время такие модули являются предметом активных исследований. Цель двух последующих глав - познакомить читателя с двумя направлениями, интенсивно разрабатываемыми математиками, работающими в теории модулей. [7]
Доказать, что каждая отличная от нуля конечномерная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем имеет неразложимые модули произвольно большой конечной размерности. R, такие, что эндоморфизм ек нильпотентен ц отличен от нуля. [8]
Теорема Крулля - Шмидта сводит проблему классификации конечно порожденных модулей над артиновыми алгебрами к изучению неразложимых модулей. К сожалению, исследование таких модулей связано с громадными трудностями. В этом параграфе мы покажем, что для большинства артиновых алгебр число классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых модулей бесконечно. [9]
Если модуль М удовлетворяет обоим условиям обрыва цепей подмодулей, то М можно разложить в прямую сумму конечного числа далее неразложимых модулей. [10]
Эта теорема выводится из одной леммы, в которой даны достаточные условия того, что артинова справа алгебра А обладает неразложимыми модулями произвольно большой длины. Используя предложение из § 2.2, мы покажем, что условия этой леммы выполняются, если решетка 1 ( Л) не является дистрибутивной. Предварительно установим одну лемму, выделяющую структурный аспект основной конструкции. [11]
Следствие 4.2 - Всякий неразложимый модуль над однорядной алгеброй изоморфен фактормодулю главного модуля. Ввиду двойственности всякий неразложимый модуль над однорядной алгеброй изоморфен также подмодулю главного модуля. [12]
Очевидно, всякий ( конечномерный) модуль можно разложить в прямую сумму неразложимых модулей. Поэтому если нам известны неразложимые модули над какой-либо алгеброй А, то мы можем описать все Л - мо-дули. Однако во многих случаях описание неразложимых модулей - это очень трудная задача, подчас недоступная известным в настоящее время методам. [13]
X; - гомоморфизм неразложимых модулей, не являющийся изоморфизмом. Этот результат получается индукцией по k, причем при переходе от k к k 1 используется существование почти расщепляющихся расширений. Из этого замечания легко следует утверждение теоремы. [14]
Обратное утверждение справедливо для модулей над полупростыми алгебрами, но нарушается в общем случае. Для артиновых алгебр существует характеризация конечно порожденных неразложимых модулей в терминах их алгебр эндоморфизмов, которая является аналогом характеризации простых модулей, доставляемой леммой Шура. [15]