Cтраница 2
Другими словами, неразложимость идемпотента е означает, что неразложимы правый Я-модуль eR и левый - модуль Re. Эти модули называются главными правым и левым неразложимыми модулями соответственно. [16]
В действительности для алгебр этого класса можно явно построить все конечномерные неразложимые модули. Трудности здесь возникают при попытке охарактеризовать классы изоморфизма таких модулей. [17]
Конечно порожденные правые модули над артиновой справа алгеброй А представимы в виде прямой суммы неразложимых модулей, причем, согласно теореме Крулля - Шмидта, такое представление единственно. Поэтому для дальнейшего развития теории Л - модулей необходимо уделить пристальное внимание неразложимым модулям. В настоящее время такие модули являются предметом активных исследований. Цель двух последующих глав - познакомить читателя с двумя направлениями, интенсивно разрабатываемыми математиками, работающими в теории модулей. [18]
Модуль М называется разложимым, если M Mi M2, где М и М2 - ненулевые модули. Таким образом, нулевой модуль не относится ни к разложимым, ни к неразложимым модулям. [19]
Эта глава посвящена еще одному направлению теории представлений алгебр, где сейчас ведутся активные исследования. Начало ему было положено работами Габриеля [34] и [35], который дал явную конструкцию неразложимых модулей для некоторых конечномерных / - алгебр. Наиболее удивительный результат Габриеля - это обнаруженная им связь между теорией представлений алгебр и диаграммами Дынкина, которые возникают при изучении полупростых алгебр Ли. Они показали, что многие алгебраические задачи допускают переформулировку на языке представлений колчанов. [20]
Пусть А - артинова справа алгебра, а В - ее базисная алгебра. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма правых А-модулей и классами изоморфизма правых В-модулей, при котором неразложимым модулям отвечают неразложимые модули, а конечна порожденным А-модулям - конечно порожденные В-модули. [21]
Пусть А - артинова справа алгебра, а В - ее базисная алгебра. Тогда существует взаимно однозначное соответствие между классами изоморфизма правых А-модулей и классами изоморфизма правых В-модулей, при котором неразложимым модулям отвечают неразложимые модули, а конечна порожденным А-модулям - конечно порожденные В-модули. [22]
Идемпотент е алгебры А называется примитивным, если Л - модуль еА неразложим. Согласно предложению а, модуль еА проективен, поэтому идемпонтент е артиновой справа алгебры Л примитивен в том и только том случае, если идеал еА является главным неразложимым модулем. Из предложения а непосредственно вытекает характеризация примитивных идем-потентов. [23]
Очевидно, всякий ( конечномерный) модуль можно разложить в прямую сумму неразложимых модулей. Поэтому если нам известны неразложимые модули над какой-либо алгеброй А, то мы можем описать все Л - мо-дули. Однако во многих случаях описание неразложимых модулей - это очень трудная задача, подчас недоступная известным в настоящее время методам. [24]
Теорема Крулля - Шмидта сводит проблему классификации конечно порожденных модулей над артиновыми алгебрами к изучению неразложимых модулей. К сожалению, исследование таких модулей связано с громадными трудностями. В этом параграфе мы покажем, что для большинства артиновых алгебр число классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых модулей бесконечно. [25]
Nk - представители классов изоморфизма конечно порожденных неразложимых В-моду-лей. Ввиду того что Л - модуль В конечно порожден, все модули ( Ni) A также конечно порождены. По теореме Крулля - Шмидта каждый модуль ( NI) A однозначно представляется в виде конечной прямой суммы неразложимых модулей. [26]
Изоморфным модулям соответствуют эквивалентные представления. Подмодуль модуля V представления ф - это подпространство WaV, инвариантное относительно ф; индуцируемое в W представление наз. Прямые суммы модулей соответствуют прямым суммам представлений, неразложимые модули - неразложимым представлениям, простые модули - неприводимым представлениям, а полупростые модули - вполне приводимым представлениям. [27]
Таким образом, алгебра В ассоциативна. Из соотношений ( 1) и ( 2) очевидным образом следует, что элемент А является единичным элементом алгебры В. В соответствии с ( 2) N является идеалом в В, удовлетворяющим условию N2 О, причем алгебра B / N A полупроста. Ввиду того что модуль eiB / eJ ( B) - etF прост, заключаем, что eiB - главный неразложимый модуль. Таким образом, элементы е, е %, , ег образуют полный набор примитивных идемпотентов алгебры В. [28]
В этой главе мы приступаем к изучению более общих алгебр, чем полупростые. Мы постараемся обобщить схему рассуждений, при помощи которых была получена структурная теорема Веддерберна. Они вводятся в настоящей главе. Имеется аналог леммы Шура, которая характеризует неразложимые модули в терминах их алгебр эндоморфизмов. [29]