Cтраница 1
Мозаика Пенроуза рассматривается как двумерный текст в золотом квартетном ромбическом алфавите. Статистика данного алфавита соответствует классу статистик Цип-фа - Мандельброта. Предложено отображение мозаик Пенроуза в квазистохастйческие деревья Кейли. В теоретико-информационном представлении найдены оценки фрактальных характеристик деревьев Кейли мозаики Пенроуза. Показано, что степень избыточно: сти древесного языка Пенроуза характеризуется золотым отношением. Фрактальные характеристики перкояяции на деревьях Кейли мозаик Пенроуза получены единым образом как производная в смысле Радона - Никодима вероятностных, энтропийных мер по метрической энтропии. [1]
Мозаики Пенроуза образуют несчетное множество - так же, как точки на прямой. [2]
Мозаики Пенроуза, как мы видели, самоподобны в том смысле, что расширение ( раздувание) или сжатие любой из них порождает другую мозаику Пенроуза. Последовательности Фибоначчи обладают таким же свойством самоподобия. Существует множество способов, позволяющих расширить или сжать их так, чтобы при этом возникла другая последовательность Фибоначчи, но простейший из них состоит в следующем. [3]
Начинается построение мозаики Пенроуза с укладки наконечников и змеев вокруг одной вершины и последующего радиального расширения узора. Каждый раз, когда вы пристраиваете к участку границы новую фигуру, вам необходимо выбирать между наконечником и змеем. Иногда выбор предрешен, иногда свободен. В этом случае вам не остается ничего другого, как вернуться назад и изменить выбранную вами фигуру. При построении мозаики удобно сначала обойти границу и пристроить все фигуры там, где их выбор предопределен. Такая операция не может привести к противоречию. Затем можно попробовать попытать счастья с теми фигурами, выбор которых однозначно не определен. [4]
Хотя можно построить мозаики Пенроуза с высокой симметрией ( бесконечное множество мозаик обладает двусторонней, или билатеральной, симметрией), большинство мозаик, как и сама Вселенная, представляют собой смесь порядка и неожиданных отклонений от него, способную кого угодно поставить в тупик. Когда мозаики расширяются, они всегда стремятся повторить себя, но это им так никогда и не удается. [5]
В работе проводится фрактальная диагностика квазикристаллических мозаик Пенроуза Нами были синтезированы реальные и идеальные мозаики Пенроуза, а также были использованы пентасимметрические мозаики, известные в литературе. Предложено отображение мозаик Пенроуза на древесные графы Кейли. [6]
Общий ход предложенного Конуэем доказательства несчетности мозаик Пенроуза ( сам Пенроуз доказал несчетность своих мозаик иначе) сводится к следующему. [7]
Разумеется, фигуры, из которых составлены мозаики Пенроуза, всегда можно раскрасить в четыре цвета так, что никакие две фигуры одного и того же цвета не будут иметь общих сторон. Достаточно ли для этих целей трех цветов. [8]
Чтобы в полной мере оценить красоту и загадочность мозаики Пенроуза, необходимо изготовить набор, состоящий по меньшей мере из 100 змеев и 60 наконечников. Число змеев находится к числу наконечников ( так же, как площадь змея к площади наконечника) в отношении, равном золотому сечению. [9]
Если вы захо i и i e построить мозаику Пенроуза, то лучше всего начертить тонкими линиями на листе бумаги как можно больше наконечников и змеев, выдерживая при этом пропорцию на пять змеев три наконечника. Затем выкройку следует многократно сфотографировать и раскрасить дуги окружностей на фигурах, например, в красный и зеленый цвет фломастерами. [10]
Пенроуза может быть правильно раскрашена в три цвета, то все мозаики Пенроуза также могут быть правильно раскрашены в три цвета1, однако до сих пор никому не удалось доказать, что какую-нибудь бесконечную мозаику Пенроуза можно правильно раскрасить в три цвета. [11]
В работе проводится фрактальная диагностика квазикристаллических мозаик Пенроуза Нами были синтезированы реальные и идеальные мозаики Пенроуза, а также были использованы пентасимметрические мозаики, известные в литературе. Предложено отображение мозаик Пенроуза на древесные графы Кейли. [12]
За десятилетие, прошедшее со времени публикации моей первой статьи о мозаиках Пенроуза в январском номере журнала Scientific American за 1977 г., Роджер Пенроуз, Джон Конуэй, Роберт Амманн и другие исследователи продвинулись в исследовании непериодических мозаик необычайно далеко. Я по-прежнему буду называть мозаики непериодическими, хотя Грюнбаум и Шепард в своей фундаментальной монографии о разбиениях плоскости [2,13] называют множество фигур апериодическим, если из него можно построить только непериодические мозаики. Открытие того, что теперь принято называть полосами, или дорожками, Амманна, и трехмерных аналогов мозаик Пенроуза привело к поразительным успехам в области кристаллографии, но прежде чем переходить к ним, мне хотелось бы начать эту ранее не опубликованную главу с краткого обзора некоторых предшествовавших событий. [13]
Конуэй получил множество так и не опубликованных им результатов относительно взаимосвязей между мозаиками Пенроуза и числами Фибоначчи, в свою очередь имеющих непосредственное отношение к особенностям роста различных растений. [14]
Представленное Мандельбротом разнообразие фрактальных струкур в природе и их красота [3], а также идеи, изложенные в статьях Гарднера о мозаиках Пенроуза [4] и числах Битти [5], стали основой для анализа апериодических кристаллических структур. [15]