Мозаика - пенроуз
Cтраница 2
Мозаики Пенроуза, как мы видели, самоподобны в том смысле, что расширение ( раздувание) или сжатие любой из них порождает другую мозаику Пенроуза. Последовательности Фибоначчи обладают таким же свойством самоподобия. Существует множество способов, позволяющих расширить или сжать их так, чтобы при этом возникла другая последовательность Фибоначчи, но простейший из них состоит в следующем. [16]
Пенроуза может быть правильно раскрашена в три цвета, то все мозаики Пенроуза также могут быть правильно раскрашены в три цвета1, однако до сих пор никому не удалось доказать, что какую-нибудь бесконечную мозаику Пенроуза можно правильно раскрасить в три цвета. [17]
Роберт Амманн, блестящий молодой математик, занимавшийся рутинными расчетами на компьютерах в Массачусетсе, независимо от Пенроуза открыл его ромбические плитки, позволяющие строить непериодические мозаики, в 1976 г., примерно за восемь месяцев до публикации моей статьи о мозаиках Пенроуза в разделе Математические игры журнала Scientific American. Между нами завязалась переписка, и я сообщил Амманну о воздушных змеях и наконечниках дротиков и о том, что первенство в открытии ромбов принадлежит Пенроузу. [18]
В работе проводится фрактальная диагностика квазикристаллических мозаик Пенроуза Нами были синтезированы реальные и идеальные мозаики Пенроуза, а также были использованы пентасимметрические мозаики, известные в литературе. Предложено отображение мозаик Пенроуза на древесные графы Кейли. [19]
Рисунок с империей короля был выполнен компьютерной программой, которую составил Эрик Регенер из Университета Конкордия в Монреале. Программа Регенера позволяет осуществлять любое число расширений произвольной мозаики Пенроуза. Жирными черными линиями показана область, разбиение которой однозначно определяется королем. Тонкими черными линиями показано разбиение после третьего расширения: нетрудно видеть, что король и почти вся его империя воспроизведены заново. [20]
Расширяя этот фрагмент мозаики с сохранением симметрии с центром 5-го порядка, вы получаете еще одну бесконечную и однозначно определенную мозаику, напоминающую ковер из цветов. Мозаики на основе звезды и солнца - единственные среди мозаик Пенроуза, обладающие идеальной симметрией с центром 5-го порядка. Они эквивалентны в следующем смысле: расширив или сжав одну из них, вы получите вторую мозаику. [21]
 |
Статистическая идентификация начального ( / и асимптотического ( 2 распределений квартетного алфавита. [22] |
Широко известно, что механизм генерации гиперболических статистик в лингвистике, экономике, социологии появляется как проявление конкуренции, чего не предполагается в коллективах с нормальной ( гауссовой) статистикой. Обращаясь к рис. 2, проясним механизм гиперболичности квартетного - ромбического алфавита мозаики Пенроуза. [23]
В мирах Пенроуза есть еще нечто более удивительное. В некотором смысле, точно переданном в виде так называемой теоремы о локальном изоморфизме, все мозаики Пенроуза одинаковы. Пенроузу удалось показать, что любая конечная область в любой мозаике совпадает с каким-то участком любой другой мозаики. Более того, в любой мозаике любой выбранный фрагмент другой мозаики встречается бесконечно много раз. [24]
Координатное представление мозаики теперь дополним вероятностным рассмотрением на И-алфавите. Наряду с объектами ( пара g - ромбов) будем учитывать и вид контакта ( смежности, соседства) - координации. На мозаике Пенроуза усматривается точечный и реберный контакты g - ромбов. [26]
Мозаика Пенроуза рассматривается как двумерный текст в золотом квартетном ромбическом алфавите. Статистика данного алфавита соответствует классу статистик Цип-фа - Мандельброта. Предложено отображение мозаик Пенроуза в квазистохастйческие деревья Кейли. В теоретико-информационном представлении найдены оценки фрактальных характеристик деревьев Кейли мозаики Пенроуза. Показано, что степень избыточно: сти древесного языка Пенроуза характеризуется золотым отношением. Фрактальные характеристики перкояяции на деревьях Кейли мозаик Пенроуза получены единым образом как производная в смысле Радона - Никодима вероятностных, энтропийных мер по метрической энтропии. [27]
Древесно - графовый формализм в исследовании мозаик, паркетов, разбиений автоматически приводит к правомерности фрактального рассмотрения. Этот аспект совершенно не очевиден в координатном представлении мозаик. Алгоритм построения деревьев Кейли для мозаик Пенроуза ( ДКП) следующий. За центр выбирается любой золотой ромб, из которого строится розетка смежности, получаем первый координационный уровень. Из каждой вершины первого уровня строятся кусты смежности по правилу только вперед - второй координационный уровень. Данная процедура итеративна, в результате получаем ДКП. [28]
Никакая последовательность Фибоначчи не может содержать комбинацию букв SS или LLL. Это позволяет весьма просто распознавать, является ли некоторая последовательность букв S и L последовательностью Фибоначчи или нет. Если вы подвергаете расширению или сжатию мозаику Пенроуза, то последовательность букв S и L, соответствующая каждому семейству полос Амманна, также претерпевает расширение или сжатие. Последовательность длинных и коротких галстуков-бабочек в любом червяке, таком, как червяки в десяти спицах в мозаике на основе колеса, также является последовательностью Фибоначчи. [29]
Заметим, что бесконечная мозаика на основе колеса обладает двусторонней симметрией с осью симметрии, проходящей через вертикальную ось Бетмена. При расширении мозаика остается неизменной с точностью до зеркального отражения относительно прямой, перендикулярной оси симметрии. Пять наконечников в Бетмене и два его центральных змея-единственные фигуры в любой мозаике Пенроуза, не лежащие внутри области с симметрией 5-го порядка. Все остальные фигуры в этой или в любой другой мозаике принадлежат бесконечно многим областям с симметрией 5-го порядка. [30]
Страницы: 1 2 3