Cтраница 3
Если наша неизменно симметричная монета падает орлом вверх, то пенни выигрывает Генри, если же выпадает решка, пенни достается Томасу. На самом деле их звали Петер и Пауль, но я так и не смог запомнить, который из них ставил на орла. [31]
Далее, закон больших чисел не означает, что сумма становится близкой к математическому ожиданию, которое, конечно, равно пр. Например, при 10 бросаниях симметричной монеты можно ожидать выпадения 5 гербов, однако даже столь большое значение, как 8, не является неожиданным. При миллионе бросаний нельзя надеяться получить отклонение 3 ( как это было при 8 гербах в 10 бросаниях) от среднего значения; лишь в процентном отношении с большой вероятностью происходит все более сильное приближение к среднему значению. [32]
Стало обычным делать из закона больших чисел выводы, которые определенно из него не следуют. Если Петр и Павел бросают симметричную монету 10 000 раз, то принято считать, что Петр будет впереди приблизительно половину времени. [33]
Чтобы понять, как применять этот словарь, рассмотрим следующую задачу. Найти вероятность того, что при п независимых бросаниях симметричной монеты герб выпадает точно I раз. [34]
Имеет смысл прокомментировать на игровом языке этот заслуживающий внимания результат. Из него следует, что в игре с бросанием симметричной монеты Петр теоретически уверен, что рано или поздно добьется положительного чистого выигрыша, но математическое ожидание числа испытаний, необходимых для достижения этой цели, равно бесконечности. Следовательно, игрок с ограниченным капиталом никогда не может быть уверен в том, что он когда-либо добьется чистого положительного выигрыша. [35]
Приблизительно таким бывает число гербов при n - кратном подбрасывании симметричной монеты. Приблизительно таким бывает число пар гербов при n - кратном подбрасывании двух симметричных монет. [36]
Числа, полученные в результате достаточно хорошей реализации случайного выбора с возвращением при N10, называют случайными равномерно распределенными числами ( или просто случайными числами), Таблицы таких чисел ( см. [1], [11], [14]) можно использовать для моделирования случайных явлений. Пусть, например, нужно моделировать результаты п опытов, заключающихся в подбрасывании симметричной монеты. Условимся считать, что выпадению герба соответствует четная цифра ( 0, 2, 4, 6, 8) в последовательности случайных чисел. [37]
Рассмотрите две независимые очереди из m и п т лиц соответственно, предполагая, что времена обслуживания имеют одно и то же показательное распределение. Покажите, что вероятность более длинной очереди окончиться первой равна вероятности получить п гербов раньше, чем т решеток, при бросаниях симметричной монеты. [38]
После первых 25 бросаний доля орлов уже никогда не достигает 60 %, после 35 бросаний становится меньше 57 %, а после 92 бросаний не превышает 52 %, если серию бросаний продолжать и дальше, чередуя 5 орлов и 5 решек. Правда, где бы мы ни оборвали нашу серию, доля орлов всегда будет больше, а доля решек - меньше / 2 - Но закон больших чисел остается в силе, как и для симметричной монеты, и обе доли стремятся к 1 / 2, хотя выравнивание числа бросаний, в которых монета падает вверх орлом и вверх решкой, происходит иначе, чем предсказывали мудрые люди. Действительно, в нашей серии орел после двух орлов встречается втрое чаще, чем решка. В целом в серии из ста бросаний Р после О встречается 10 раз, О после Р - 9 раз, О после О - 40 раз и Р после Р - тоже 40 раз. Таким образом, при очередном бросании монета 19 раз падает другой стороной вверх и 80 раз - той же стороной вверх, что и в предыдущем случае. Если бы монета вела себя так, как следует из нашей серии, то после выпавшего орла, мы уверенно загадывали бы орла, а после выпавшей решки - решку. [39]
Бросание монеты или игральной кости и аналогичные действия можно рассматривать как эксперименты по практическому осуществлению случайного выбора с возвращением, и наши вероятности численно близки к частотам, наблюдаемым в длинной серии экспериментов, хотя полностью симметричных монет или игральных костей не существует. При выборе из генеральной совокупности людей статистик сталкивается со значительными и часто непредвиденными трудностями, и горький опыт показывает, что трудно получить даже грубое подобие случайности. [40]
Бросание монеты или кости и другие аналогичные действия могут быть истолкованы как опыты, практически дающие случайный выбор с возвращением, н наши вероятности численно близки к частотам, наблюдаемым в длинной серии опытов, несмотря даже на то, что абсолютно симметричной монеты или кости не существует. При выборе из совокупностей, состоящих из людей, статистики встречаются со значительными и часто неожиданными трудностями, и опыт показывает, что очень трудно получить даже грубое приближение к случайной выборке. [41]
Если, например, в последовательности случайных чисел ( м 2) четные цифры заменить буквой Г, а нечетные - Р, то полученную последовательность из букв Г и Р можно рассматривать как реализацию опыта, состоящего в n - кратном подбрасывании симметричной монеты. Действительно, каждая последовательность, состоящая из букв Г и Р, может быть получена из одинакового числа равновероятных цифровых последовательностей, и, следовательно, новые последовательности равновероятны. [42]
Это согласие по данным таблички кажется вполне удовлетворительным, однако если для исследования применить специальные вероятностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадение герба и решки в отдельных случаях не одинаково вероятно. Это будет проявлением того факта, что любая реальная монета не является идеально симметричной. И тем не менее представление об абсолютно симметричной монете очень полезно, так как во многих приложениях теории вероятностей такая модель с двумя равновозможными исходами достаточно точно описывает случайные явления, и даже точнее, чем эксперимент с подбрасыванием монеты. [43]
При небольшом п относительная частота события носит в значительной степени случайный характер. Однако по мере увеличения числа проведенных опытов частота все больше теряет свой случайный характер: она проявляет тенденцию стабилизироваться, приближаясь с незначительными колебаниями к некоторой постоянной величине. Ниже приводится таблица, в которую для серии из 600 опытов бросания симметричной монеты занесены частоты выпадения герба. [44]
Абстрагировать - это, по-видимому, значит переходить к сути дела. Это значит освобождаться от случайных черт и сосредотачивать внимание на особо важных свойствах. Абстрактно теория игры герб или решетка ( симметричная монета, независимые бросания) сводится просто к изучению функций Xh ( со) со свойством (3.1), определенных на некотором пространстве Q ( с единичной мерой), где задана мера и, удовлетворяющая требованиям 1, 2 и 3 предыдущего пункта. [45]