Cтраница 2
Предположим, что мы принялись за изучение частоты возникновения того редкого явления, которое упоминалось выше: повтор какой-то стороны идеальной монеты в течение десяти испытаний подряд. [16]
Перечислить в таблице из 64 строк и 6 столбцов совокупность возможных последовательностей гербов и решек, которые могут появиться в опыте, состоящем из шести последовательных независимых бросаний идеальной монеты. [17]
Ожидаемая частота появления каждого из возможных значений v определяется статистическими параметрами процесса бросания монеты. Идеальная монета может выпасть двумя равновозможными способами, и, следовательно, в трех независимых бросаниях монеты могут выпасть в виде восьми различных равно-возможных исходов. [18]
Собственно говоря, в этой истине и состоит первый закон арксинуса. Он разрушает наши интуитивные представления о том, что при бросках идеальной монеты выигрыш примерно должен быть равен проигрышу. [19]
Поскольку мы не имеем возможности получать бесконечно много цифр значения случайной величины X в конечное время на ЭВМ, будем иметь дело с алгоритмами, которые доставляют последовательные двоичные знаки случайной величины X до тех пор, пока в этом есть необходимость; таким образом, если алгоритм выполняется достаточно долго, то в результате можно получить искомое значение со сколь угодно большой степенью точности. Задача состоит в моделировании подобных случайных величин, используя только источник равнораспределенных случайных битов, например подбрасывая идеальную монету достаточно много раз. [20]
Часто утверждают также, что значение 1 / 2 для вероятности получается из опыта. На самом деле применение утонченных статистических методов к фактическим результатам опытов с бросанием монет неизменно показывало, что выпадение герба и выпадение решетки не являются одинаково вероятными событиями. Тем не менее мы придерживаемся нашей модели идеальной монеты, хотя на самом деле правильных монет не существует. Мы сохраняем эту модель не только из-за ее логической простоты, но в основном из-за ее полезности и применимости. Во многих приложениях эта модель достаточно точно описывает действительность. Еще важнее тот извлекаемый из опыта факт, что отклонения от нашей схемы всегда связаны с такими явлениями, как, например, несовпадение центра тяжести монеты с ее геометрическим центром. [21]
Мы готовы теперь к строгому анализу природы флуктуации при случайных блужданиях. Согласно широко распространенному убеждению, так называемый закон средних должен гарантировать, что при длительном бросании монеты каждый из игроков будет в выигрыше примерно половину времени и лидерство будет нередко переходить от одного игрока к другому. Представим себе, что имеются записи огромного числа результатов игр с бросанием идеальной монеты, причем каждая из игр содержит ровно 2 / z испытаний. Частая смена лидерства должна означать, что k будет сравнительно близко к п, но это не так. [22]
Если средняя мощность периодического сигнала значительно меньше мощности аддитивного случайного шума, то нужно использовать очень длинную выборку, чтобы устранить недостоверность обнаружения. В пределе при произвольно длинной выборке теоретически возможно обнаружить наличие периодического сигнала, имеющего сколь угодно малую среднюю мощность по отношению к мощности случайной помехи. Все это вытекает из статистических характеристик опыта с бросанием монеты, рассмотренных подробно в разд. Пока же достаточно сказать, что из множества всех возможных последовательностей, полученных N независимыми бросаниями идеальной монеты, среднее по множеству квадрата разности ( число гербов минус число решек) пропорционально N. Поэтому отношение мощностей сигнала к шуму после корреляции должно увеличиваться пропорционально длине выборки. [23]
Что такое случайность, как она проявляется, в чем ее природа. Теория вероятностей предлагает математическую модель, оправдавшую себя при исследовании многих явлений и процессов, не поддающихся чисто детерминированным методам анализа. Наглядное представление о случайных событиях можно получить, рассматривая различные опыты с подбрасыванием монет, игральных костей, раздачей игральных карт и др. Полная неопределенность в исходе такого рода опыта, казалось бы, отвергает возможность установления здесь каких-либо закономерностей. Хорошо известно, что при многократном повторении опытов наблюдается так называемая устойчивость частот появления исходов. Ниже приведены результаты эксперимента, имитирующего подбрасывание идеальной монеты. [24]
Это приводит к выводу, что при п бросаниях монеты все 2 возможных случаев равновероятны. Часто говорят, что такое допущение - логически неизбежное и единственно возможное. Однако некоторые статистики отрицают это и исходят из противоположных допущений. Говорят также, что вероятности 1 / 2 следуют из опыта. В действительности, когда для исследования бросания монеты использовались утонченные статистические методы, неизменно обнаруживалось, что выпадение герба и решетки не одинаково вероятно. И все-таки мы придерживаемся нашей модели идеальной монеты, хотя на самом деле правильных монет не существует. Мы сохраняем эту модель не столько ради ее логической простоты, сколько в основном из-за ее полезности в приложениях: во многих приложениях эта модель достаточно хорошо описывает действительность. [25]