Cтраница 4
Он отметил, что свойство алгебры быть простой является морита - свойством ( см. стр. Им рассмотрен особо случай, когда Ф - полное локальное кольцо. [46]
Ббльшая часть материала этой главы-математический фольклор и приведенные ссылки являются, вероятно, далеко не исчерпывающими. Материал этого параграфа-это все, что нужно из теории Мориты для проективно тривиальных колец; отметим, что почти все рассматриваемые в дальнейшем кольца попадают в этот класс колец. [47]
Наиболее подходящим аппаратом для изучения эквивалентности Мориты является теория категорий. Для того чтобы свести к минимуму ее использование, мы докажем только один частный случай основной теоремы об эквивалентности Мориты, которого, однако, вполне достаточно для наших целей. [48]
Нетерово справа кольцо оказывается полуцепным справа тогда и только тогда, когда все конечно порожденные правые - модули полуцепные. Такие кольца представляются как прямые суммы обобщенно однорядных колец, полусовершенных наследственных первичных колец и колец, эквивалентных в смысле Мориты факторкольцам колец матриц специального вида над цепными кольцами ( Кириченко В. В. / / Ин - т мат. Все конечно порожденные модули над коммутативным кольцом R оказываются полуцепными ( такое кольцо часто называют кольцом Кете) тогда и только тогда, когда оно представляется в виде прямой суммы линейно компактных цепных колец, почти максимальных областей Безу ( кольцом Безу называется коммутативное кольцо, в котором сумма любых двух главных идеалов является главным идеалом, а почти максимальность означает, что факторкольцо по любому идеалу, отличному от всего кольца, линейно компактно) и факельных колец. [49]
Нетерово справа кольцо оказывается полуцепным справа тогда и только тогда, когда все конечно порожденные правые / - модули полуцепные. Такие кольца представляются как прямые суммы обобщенно однорядных колец, полусовершенных наследственных первичных колец и колец, эквивалентных в смысле Мориты факторкольцам колец матриц специального вида над цепными кольцами ( Кириченко В. Все конечно порожденные модули над коммутативным кольцом К оказываются полуцепными ( такое кольцо часто называют кольцом Кете) тогда и только тогда, когда оно представляется в виде прямой суммы линейно компактных цепных колец, почти максимальных областей Безу ( кольцом Безу называется коммутативное кольцо, в котором сумма любых двух главных идеалов является главным идеалом, а почти максимальность означает, что факторкольцо по любому идеалу, отличному от всего кольца, линейно компактно) и факельных колец. [50]
Конечномерные центральные простые алгебры над полем Ф называются подобными, если Мт ( Ф Ф / 4) Л4П ( Ф 8 Ф й) для подходящих тип. Это равносильно тому, что базисные алгебры алгебр А и В изоморфны, что, в свою очередь, равносильно эквивалентности алгебр, А и В в смысле Мориты. Отношение подобия оказывается отношением эквивалентности. Если [ А ] - класс этой эквивалентности, содержащий алгебру А, то определение [ А ] [ В ] [ A S о В ] превращает множество классов в периодическую абелеву группу, которая называется группой Брауэра поля Ф ( см. [76], § 12.5; [96], § 4.1, теорема 4.4.4; [31], § V. Отсюда вытекает, что группа Брауэра алгебраически замкнутого поля одноэлементна ( [76], с. [51]
Еще в начале 90 - х годов А. Морито, президент Sony, отмечал, что корпоративная Япония должна отойти от прошлого лозунга упорный труд и высокое качество для процветания Японии на мировом рынке и выдвинуть в качестве лозунга индивидуальное обогащение как стимул высоких результатов. Морита отмечал, что корпоративная Япония может остаться в изоляции в мировой Деловой среде, если не изменит своей корпоративной культуры в направлении западных ориентиров. Молодые японские, китайские и корейские бизнесмены все чаще обучаются на Западе и в большей степени, чем старшее поколение, привержены международным стандартам деловой культуры. Азиатские студенты составляют около половины учащихся ведущих американских бизнес-школ. Так, например, старший сын главы КНР Цзян Мянхэн получил образование в США и довольно успешно курирует значимую часть высокотехнологичного бизнеса страны. [52]
Скажем, что кольца R н S эквивалентны, в смысле Мориты или подобны, если эквивалентны категории правых R - и 5-модулей, что равносильно эквивалентности категорий левых R - и 5-модулей. Каждое кольцо эквивалентно в смысле Мориты кольцу матриц над ним, а каждое полусовершенное справа кольцо - своему базисному кольцу. [53]