Cтраница 2
Пусть Y-слоение на X и л: X - S - такой морфизм многообразий, что композиция Y - X - - S этальна. [16]
Пусть /: X - Y, g: Y - Z - морфизмы равноразмерных многообразий, Y и Z гладкие. [17]
Никоим образом не очевидно, что Ф - гомоморфизм групп или что ф - морфизм многообразий. Решение первого из этих вопросов более сложно. Коль скоро это будет сделано, мы сможем применить следующий общий критерий, чтобы заключить, что ф - морфизм. [18]
Отображение cl: A X - H X является гомоморфизмом градуированных колеи, ковариантным для морфизмов неособых многообразий. [19]
Аналогично, перейдя к вещественным координатам, легко убедиться, что всякий морфизм вложенных комплексных аффинных многообразий является в то же время морфизмом соответствующих вещественных многообразий. Поэтому операция овеществления имеет смысл, не зависящий от вложения. [20]
В действительности ввиду выбора подпространства V группа 5 есть стабилизатор флага / в G. По этой причине индуцированный морфизм многообразия G / S на орбиту флага / в ( V) является биекцией. [21]
В частности, бирациональный морфизм нормальных многообразий, биективный на точках, является изоморфизмом. [22]
Кольцо K ( V) рациональных функций на V зависит от V нефункториально. Дело в том, что если a: V - W - морфизм многообразий и множество U открыто и плотно в W, то a 1 ( U) не обязано быть плотным в V. Если же это всегда справедливо и если a ( V) W, то мы называем морфизм а доминантным. [23]
Пусть G - многообразие ( не обязательно неприводимое), обладающее структурой группы. Если оба отображения л: G X G - - G и i: G-G, где л ( х, у) ху, i ( x) дН, являются морфизмами многообразий, то мы называем G алгебраической группой. Читатель, знакомый с понятием аналитической группы, заметит здесь очевидную аналогию. [24]
Для того чтобы / было морфизмом многообразия Z в многообразие U, необходимо и достаточно, чтобы композиция отображения / и канонической инъекции из U в X была морфизмом многообразий из Z в X. Если X локально компактно и счетно в бесконечности, всякий связный лист в ( X, У) допускает счетный базис открытых множеств ( см. Общ. [25]
Y, то мы скажем, что поле Q невырождено. Если тс тривиально и задана тривиализация YxE, то главная часть поля Q описывается морфизмом многообразия Y в банахово пространство операторов. Если поле Q невырождено, то образ многообразия Y при этом морфизме содержится в множестве обратимых операторов. Если Q есть 2-форма, то образ содержится в подпространстве кососимметрических операторов. [26]
Для того чтобы / было морфизмом многообразия Z в многообразие U, необходимо и достаточно, чтобы композиция отображения / и канонической инъекции из U в X была морфизмом многообразий из Z в X. Если X локально компактно и счетно в бесконечности, всякий связный лист в ( X, У) допускает счетный базис открытых множеств ( см. Общ. [27]
Морфизм а: G - GLV алгебраических групп называется рациональным ( линейным) представлением группы G. Если G является / г-группой, то мы говорим, что представление а определено над k или k - рационально, если это представление является 6-морфизмом относительно 6-структуры на GLVj индуцированной указанным выше способом какой-либо / е-структурой пространства V. Это означает, что относительно какого-либо 6-рационального базиса пространства V матричные элементы a ( g) / / являются / г-рациональными функциями 0 - / С - Так как все эти функции имеют вид g - h ( a ( g) ( v)) для подходящих v е Vk и h V k, то отсюда следует, что представление a: G - GLv будет k - рациональным тогда и только тогда, когда соответствующее отображение G X V - V является k - морфизмом многообразий. [28]
Многообразие X в окрестности точки х в некотором смысле устроено так же, как К. Qxx - Размерность и кратность X в точке z совпадают с размерностью К. Морфизм многообразий индуцирует отображение К. [29]
Структура многообразия на G называется согласованной со структурой группы на G, если отображение ( к, г /) ь - ху из G X G в G есть морфизм. Отображение х - х - - ] есть тогда морфизм группы G в себя. Множество G, наделенное его групповой структурой и его структурой многообразия, называется групповым многообразием ( класса Сг, если нужно уточнить) или группой Ли. Всякое групповое многообразие чистое. Гомоморфизмом групповых многообразий ( или просто гомоморфизмом) называется всякое отображение одного группового многообразия в другое, являющееся одновременно гомоморфизмом групп и морфизмом многообразий. [30]