Cтраница 1
Доминантный морфизм может не быть сюръективным. [1]
Всякий ли доминантный морфизм Р1 - Р1 обязан быть изоморфизмом. [2]
Доказательство первого утверждения легко сводится к случаю доминантных морфизмов неприводимых многообразий. [3]
Пусть X-гладкое многообразие размерности 1, и пусть ф: Р1 - X - доминантный морфизм. [4]
Доказательство, ( а) Пусть F и Ff - неприводимые компоненты многообразия V, Из того, что я - доминантный морфизм и многообразие ЙРнеприводимо, следует, что множества я / 7 и я / 7 содержат плотные открытые в W подмножества. Следовательно, множество я-1 ( яР) 0 F содержит непустое и, значит, плотное открытое в F подмножество. [5]
Достаточно показать, что cl [ F ( o ] cl [ F ( l ] в HfV, где V - многообразие, /: V - Т - доминантный морфизм на неособую кривую Т и to, ti Т ( ср. [6]
Пусть поле К имеет нулевую характеристику, и пусть М, N, Р - неприводимые аффинные многообразия и /: М - - N, h М - Р - доминантные морфизмы. [7]
Из того факта, что G / B - неприводимое многообразие размерности 1, вытекает, что если точка х е G / B не является неподвижной относительно Т, то орбитное отображение GI - G / B, t - K ( t) x является доминантным морфизмом. [8]
Соответствующие аффинные алгебры есть R / I и S / ( S V) так что предыдущее замечание показывает, что ф: Z - Z - снова конечный ( и доминантный) мор-физм. Достаточно теперь доказать, что любой конечный доминантный морфизм сюръективен. [9]
Теорема 4.5 дает критерий того, когда доминантный морфизм неприводимых многообразий открыт. [10]
Так как многообразие GXC0 неприводимо, то / - доминантный морфизм. [11]
Лемма Нетер о нормализации (0.7) означает, что конечно порожденная область над К может быть построена в два шага: сначала чисто трансцендентное расширение, а затем целое расширение. Чтобы иметь дело с парой неприводимых аффинных многообразий, связанных доминантным морфизмом ф: Х - - - К, нам необходимо рассмотреть вариант этой леммы Для пары колец. [12]
Обычно мы без колебаний заменяем У на замыкание множества ф (); это упрощает соотношения между размерностями. Если многообразие X неприводимо и множество ф () плотно в У, то мы говорим, что ф - доминантный морфизм. Мы могли бы использовать этот термин и в случае, если многообразие X не является неприводимым; однако мы предпочитаем сохранить термин доминантный для следующей более специфической ситуации: морфизм ф отображает каждую компоненту многообразия X на плотное подмножество некоторой компоненты многообразия У, и образ ф () плотен в У. Даже если морфизм ф является доминантным, его ограничение на неприводимую компоненту множества ф - 1 ( W) ( W - замкнутое неприводимое подмножество многообразия У) не обязано, разумеется, быть доминантным, если его рассматривать как морфизм этой компоненты в W. Но если это так, то мы говорим, что рассматриваемая компонента доминирует W. Одно замечание: если ф: X - Y - доминантный морфизм, X, У - неприводимые многообразия, то коморфизм ф индуцирует вложение поля K ( Y) в К ( Х) -, в частности, dim X dim У. [13]
В свою очередь мы можем предполагать, что многообразия X, Y неприводимы. Ввиду предположения индукции нам достаточно рассмотреть только случай доминантного морфизма ср. [14]
Если кольцо К [ Х является целым над подкольцом Ф / С [ У ], то мы говорим, что морфизм ф конечен. Заметим, что если X, У - неприводимые многообразия и если ф - доминантный морфизм, то поле К ( Х) - конечное алгебраическое расширение поля ф / С ( У), так что dim X dim У. [15]