Cтраница 2
Пространство Хаусдорфа R, над которым задан а-атлас, в окрестности каждой своей точки гомеоморфно пространству какого-то аналитического наложения. [16]
Таким образом, аналитическое с-наложение не имеет лишних листов, в точках которых с одинакоными проекциями все голоморфные функции принимают одинаковые значения; с-условие для аналитических наложений соответствует условию аналитической отделимости для плоских областей наложения. [17]
Теорема 14.4. Если проекция - р m - - Zi сюръективна, то тройка ( т, f Zi), где у 7О ( А определяет аналитическое наложение над многообразием Z, Тройка ( т, 7 Zj) определяет аналитическое наложение над многообразием Zj в том и только в том случае, если аналитическое множество т локально неприводимо. [18]
Теорема 14.4. Если проекция - р m - - Zi сюръективна, то тройка ( т, f Zi), где у 7О ( А определяет аналитическое наложение над многообразием Z, Тройка ( т, 7 Zj) определяет аналитическое наложение над многообразием Zj в том и только в том случае, если аналитическое множество т локально неприводимо. [19]
Пара 91 ( R, Ф) называется областью наложения над пространством С, иначе римановой областью, если: 1) R - пространство Хаусдорфа и Ф - некоторое отображение пространства R в пространство С; 2) каждой точке г R отвечают такие окрестности Ur d R, V& ( Г) d С, что тройка llr ( Ur, Ф, V ( / -)) оказывается аналитическим наложением. [20]
W аналитического наложения 9B ( W, T, Z), очевидно, обладает окрестностью, гомеоморфной евклидовому пространству, так как является униформизируемой точкой пространства W. Точки ветвления аналитического наложения также могут быть уни-формизируемыми. Так, все точки ветвления аналитического наложения % ь ( ть, f, Z), рассмотренного в примере 1 предыдущего пункта, униформизируемы. [21]
II) переносятся на случай аналитических наложений без каких-либо изменений. [22]
Проекция т) отображает множество L7W N ( где N - некоторое множестно, нигде не разлагающее область ( Jw) локально го-меоморфно в многообразие Z. Из определения функции, голоморфной относительно аналитического наложения 393, вытекает, что или f Uw N0, wug Uw NQ. Используя соображения непрерывности, мы установим, что или / UW Q, или g Uw Q. Таким образом, по крайней мере один из ростков fw, gw является нулевым. [23]
Предположим, что проекция у. Тогда в силу теоремы 14.4 тройка ( т, f Za) определяет аналитическое наложение; с его помощью над пространством т определяется а-струк-тура и строится пучок О ( а) ( т) колец ростков голоморфных функций. С другой стороны, над пространством т может быть построен пучок D ( P) ( т), определяющий - структуру. [24]
Объединение SR ( ct) OR) 9K r), r R естественным образом составляет пучок полей ростков мероморфных функций а-пространства R. Заметим, что для рассмотренных нами выше частных случаев комплексных а-пространств ( плоских областей наложения, многообразий, аналитических наложений) это определение сводится к прежде данному. [25]
Из определения отображения f как проекции и теоремы 14 3 вытекает, что - О ( А является непрерывным, собственным, нигде не исключительным и сюръ-ективным отображением. Покажем, что для тройки ( т, f, Zj) выполняется и второе условие из определения аналитического наложения. По предположению нашей теоремы аналитическое множество т при проекции f накрывает многообразие Zj. Поэтому существует такое аналитическое множество А С ] Zj размерности более низкой, чем многообразие Zj, что ограничение проекции - р / и 7 - 1 ( А) - Zj оказывается локально гомеоморфным. [26]
W аналитического наложения 9B ( W, T, Z), очевидно, обладает окрестностью, гомеоморфной евклидовому пространству, так как является униформизируемой точкой пространства W. Точки ветвления аналитического наложения также могут быть уни-формизируемыми. Так, все точки ветвления аналитического наложения % ь ( ть, f, Z), рассмотренного в примере 1 предыдущего пункта, униформизируемы. [27]