Cтраница 2
Это разложение известно под названием спектральной теоремы. Оно выражает матрицу А в виде комбинации одномерных проекций Х х, подобных проекциям аат из гл. Они разбивают любой вектор b на его компоненты р х ( х Ь) по направлениям единичных собственных векторов, которые образуют множество взаимно перпендикулярных осей. [16]
Процедура обратной итерации эффективна при решении частной проблемы собственных значений, т.е. при выделении одного собственного значения. В процессе вычислений приходится иметь дело с плохо обусловленной матрицей, однако процедура быстро сходится, если удачно выбрано начальное приближение. Оператор ( А - Е) увеличивает проекцию вектора, на который он действует, в направлении собственного вектора и подавляет все остальные проекции. В качестве начального приближения целесообразно выбирать равновесную функцию распределения. Вычислительная практика показывает, что такое начальное приближение обеспечивает сходимость процедуры обратных итераций к искомому минимальному по модулю собственному значению, т.е. к константе скорости. [17]
Как отмечалось в § 4.6, уравнение, определяющее собственные значения матрицы, можно решить путем приведения этой матрицы к диагональному виду; элементы полученной матрицы и будут тогда искомыми собственными значениями. Следовательно, задача отыскания системы, в которой / имеет диагональный вид, является задачей о собственных значениях матрицы тензора /, причем числа 1, / 2, / з суть собственные значения этой матрицы. Кроме того, ясно, что в координатной системе, где тензор / является диагональным, направление координатных осей совпадает с направлением собственных векторов. Следовательно, действие оператора / на вектор, параллельный одной из координатных осей, состоит в образовании другого вектора, идущего в том же направлении. [18]
Уравнение хТАх 1 для числителя определяет, по крайней мере для положительно определенной матрицы А, эллипсоид. Но из нашего предыдущего изучения эллипсоида вытекает, что направление его наибольшей оси ( на которой находится искомая точка) совпадает с направлением первого собственного вектора. [19]
Поэтому, если определитель матрицы близок к нулю, то качество решения получается низким. Особенно заметно вырождение матрицы при наличии групп сильно коррелированных аргументов. При переходе к собственным подпространствам матрицы Х Х удается легко различить подпространства, в которых матрица ковариаций хорошо обусловлена, от тех, где ее определитель близок к нулю. Программно переход к рассматриваемому представлению осуществляется так: находятся собственные векторы и собственные значюния матрицы ХТХ в пространстве всех аргументов. После этого производится переход к новым осям координат, в качестве которых берутся направления собственных векторов, и решение далее идет так же, как описано выше. [20]
Если собственные значения матрицы тензора / не все различны, то изложенное доказательство ортогональности не проходит, однако оно может быть для этого случая немного изменено, что можно сделать без большого труда. Если имеются два одинаковых собственных значения, то соответствующие собственные векторы не обязательно будут ортогональны. Однако любая линейная комбинация этих собственных векторов должна опять быть собственным вектором матрицы тензора / с тем же собственным значением. Следовательно, все векторы, лежащие в плоскости, определяемой двумя этими собственными векторами, также являются собственными векторами. Тогда собственный вектор, соответствующий третьему собственному значению, будет перпендикулярен к этой плоскости. Поэтому в рассматриваемой плоскости можно выбрать два произвольных взаимно перпендикулярных вектора, которые вместе с третьим, им перпендикулярным, определят три искомые оси. Аналогично, если все собственные значения будут одинаковы, то все направления пространства будут направлениями собственных векторов. Но это значит, что матрица тензора / является диагональной и ее не требуется диагонализировать. [21]