Cтраница 2
Общего метод нахождения полного интеграла уравнения в частных производим Гамильтона - Якоби не существует. При некоторых условия оказывается возможным сравнительно просто найти полный ин теграл, причем нахождение его сводится к интегрированию систем ] обыкновенных дифференциальных уравнений с одной зависимо переменной каждое. Таког рода задачи называются задачами с разделяющимися переменны ми. Этот метод обобщав известные теоремы Лиувилля и Штеккеля. [16]
Итак, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтона можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гамильтона - Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, однако имеются динамические задачи, для которых нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона - Якобй оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [17]
Выбор величин ai, входящих в характеристическую функцию Гамильтона, в качестве новых импульсов является в некоторой степени произвольным. Постоянные QI, 2, , п - i не имеют, вообще говоря, определенного физического смысла, а просто представляют собой набор постоянных, появляющихся в процессе нахождения полного интеграла уравнения Гамилътона-Якоби. [18]
Таким образом, теорема Якоби доказана. Можно, сказать, что две задачи анализа: интегрирование канонических уравнений и нахождение полного интеграла уравнения ( J) - эквивалентны в том смысле, что решение одной задачи влечет за собой и решение другой. [19]
Будем изучать системы, движения которых обладают описанным ниже свойством периодичности. Эти новые импульсы представляют собой п независимых функций от набора величин о, появляющихся при нахождении полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Канонически сопряженные к ним координаты Wi называются угловыми переменными. Переменные действие-угол /, w весьма удобны для описания движений, обладающих свойством периодичности. Они находят широкое применение в теории возмущений. [20]