Нахождение - корень - многочлен
Cтраница 1
Нахождение корней многочлена представляет собой в общем случае не простую задачу, однако в тех случаях, когда многочлен Р ( х) разложен в произведение многочленов, степень каждого из которых не больше 2, эту задачу удается решить полностью, так как по свойству 4 множество корней многочлена Рп ( х) совпадает с множеством корней его делителей. [1]
Задача нахождения корней многочленов возникает достаточно часто для того, чтобы оправдать ее тщательное изучение и разработку специальных методов для ее решения. Мы будем рассматривать только многочлены с действительными коэффициентами, так как обычно с ними и сталкиваются на практике. Фундаментальным свойством действительных многочленов является то, что они могут быть разложены на действительные линейные и действительные квадратичные множители. Предположим, что действительные линейные множители уже удалены. Комплексными корнями следует заниматься после того, как все действительные найдены. [2]
Поэтому ниже приводятся методы нахождения корней многочленов степени п, где / г: э3, только для некоторых частных случаев. [3]
Разложение многочлена на множители равносильно нахождению корней многочлена. Нахождение корней многочлена само по себе является трудной задачей, и в общем случае для многочлена n - й степени с действительными коэффициентами нельзя указать универсального способа нахождения корней. Однако для многочленов с целыми коэффициентами существует теорема, позволяющая отыскивать рациональные корни таких многочленов. [4]
При решении некоторых задач, связанных с нахождением корней многочлена, приходится вычислять значение производной от этого многочлена при заданном значении неизвестного. [5]
 |
Блок-схема программы. [6] |
Примером использования операторов ЕСЛИ и ПЕРЕЙТИ может служить уже рассмотренная задача о нахождении корней многочлена второй степени. [7]
Если вычисление функции относительно нетрудоемко, неразумно применять в процессе вычислений интерполяцию степени выше второй; в противном случае возникает задача нахождения корней многочленов, сама требующая достаточно большого числа арифметических операций. Если вычисление функции трудоемко, может оказаться более выгодным пойти по пути увеличения степени интерполяционного многочлена. [8]
Если вычисление функции относительно нетрудоемко, неразумно применять в процессе вычислений интерполяцию степени выше второй; в противном случае возникает задача нахождения корней многочленов, сама требующая достаточно большого числа арифметических операций. [9]
Разложение многочлена на множители равносильно нахождению корней многочлена. Нахождение корней многочлена само по себе является трудной задачей, и в общем случае для многочлена n - й степени с действительными коэффициентами нельзя указать универсального способа нахождения корней. Однако для многочленов с целыми коэффициентами существует теорема, позволяющая отыскивать рациональные корни таких многочленов. [10]
Важной задачей является разработка эффективных методов решения уравнений отдельных типичных классов. Для нахождения корней многочлена P ( z) - a0zm - - am как с действительными, так и с комплексными коэффициентами таким методом является метод парабол. При заданных приближениях к корню zn 2, zn i, zn приближение zn определяется следующим образом. В стандартных программах метода парабол эта схема подвергнута некоторой модификации. [11]
 |
Блок-схема метода простой итерации. [12] |
Рассмотренные выше методы решения нелинейных уравнений пригодны как для трансцендентных, так и для алгебраических уравнений. Вместе с тем при нахождении корней многочленов приходится сталкиваться с некоторыми особенностями. [13]
Изменяемые параметры могут входить в разные составные части характеристического уравнения. Так как метод корневого годографа представляет собой графический способ нахождения корней многочлена через корни двух его составных частей, то, применив методику, изложенную в [1], можно построить сначала корневые годографы как функции одного изменяемого параметра, а затем, использовав их, по той же методике построить семейство корневых годографов как функцию второго изменяемого параметра. [14]
Рассмотренный метод имеет при р 1 в ряде случаев определенные преимущества по сравнению с обычным методом Ньютона; в частности, если производные F ( x) имеют малое число ненулевых элементов, то трудоемкость предложенного метода будет того же порядка, что и в методе Ньютона. Так обстоит дело, например, в традиционной задаче алгебры - нахождении корней многочленов высоких степеней. [15]
Страницы: 1 2