Cтраница 3
Совокупность всех направлений, определяемую уравнением ( 1), называют полем направлений. С этой точки зрения решение дифференциального уравнения состоит в нахождении кривой по заданному ее направлению в каждой точке. [31]
Это представление о вариациях, которое само по себе может казаться как очень неопределенным, так и бесплодным, становится немного яснее, если подробнее изложить, откуда оно берет начало и как к нему пришли. К этому прежде всего приводит вопрос о нахождении кривых, обладающих некоторым свойством максимума или минимума, или, чтобы избежать неясности, связанной с рассмотрением вопроса в общем виде, рассмотрим проблему нахождения кривой, по которой тяжелое тело, падающее из данной точки, наиболее быстро попадает в другую данную точку. Тогда из самой природы максимумов и минимумов ясно, что эта кривая должна быть такова, что если ее заменить другой кривой, бесконечно мало отличающейся от нее, то время падения при этом должно быть почти тем же. Решение, следовательно, должно быть такое, что если искомую кривую рассматривать как заданную, а затем выполнить соответствующее вычисление для бесконечно мало отличающейся от нее кривой и найти разность времен падения, то, положив эту разность равной нулю, мы выявим природу искомой кривой. А кривые, бесконечно мало отличающиеся от искомой, удобнее всего рассматривать как получающиеся при увеличении или уменьшении ординат отдельных точек искомой кривой на бесконечно малые значения, то есть при вариации ординат. Обыкновенно достаточно осуществить такую вариацию для одной единственной ординаты, но ничто не мешает приписать такие вариации нескольким или всем ординатам, поскольку всегда должны прийти к одному и тому же решению. Но при этом не только в большей мере выявляется сила метода, но получаются также более полные решения вопросов такого рода, а отсюда можно извлечь вопросы, связанные с другими условиями. Поэтому представляется совершенно необходимым изложить предмет вариационного исчисления в наиболее общем виде, какой для него возможен. [32]
Во многих случаях общей оценки точности по коэффициенту готовности оказывается недостаточно. Это объясняется тем, что ход технологического процесса автоматической линии всегда контролируется либо автоматическими контрольными приборами, либо вручную - с помощью регулярных или выборочных измерений. И всякий раз, когда смещение уровня настройки обнаруживает тенденцию массового выхода размеров обрабатываемых деталей за границу поля допуска, станок или линия останавливается, и следует размерная подналадка механизмов или инструмента или смена инструмента. Таким образом, нахождение кривой распределения почти целиком внутри поля допуска свидетельствует лишь о том, что поле допуска больше, чем поле мгновенного рассеивания. Иными словами, диаграмма точности не дает ответа на вопрос, какова стабильность и надежность технологического процесса и как удается обеспечивать на данном станке или линии заданную точность обработки. [33]
Можно так же, как это предусмотрено в изотермическом методе, поддерживать температуру постоянной и измерять устанавливающееся при этом давление паров. Статические методы имеют то преимущество, что они позволяют работать с очень малыми количествами вещества. Кортюм и Файер [107] сообщают об очень простом статическом методе измерения давления паров при постоянной температуре в двойных и тройных жидких системах. Вебер [108] описывает универсальную дистилляционную установку для исследования фазового равновесия, состоящую из термостатов. Гельбин [109] дает сравнительную характеристику различных методов нахождения кривой равновесия. [34]
Речь идет о статье И. Бернуллн: Responsio ad nonneminis provocationem, eiusque solutio quaestionis ispi ab eodem proposi-tae de invenienda Linea curva, quam describit projectile in raedio resistente ( Ответ на анонимный вызов и решение его же задачи, предложенной автору, о нахождении кривой линии, которую описывает движущаяся точка в среде с сопротивлением) - Acta Eruditorum, Leipzig, 1719, май, стр. Mali, Problematis de invenienda cur-vae, quae describitur a projectili gravi in medio resistente ( Аналитическое вычисление, с помощью которого найдено решение, опубликованное в лейпцигских Acta, 1719, май, задачи о нахождении кривой, которую описывает материальная точка в среде с сопротивлением) - там же, 1721, май, стр. [35]
Это различие лучше всего иллюстрировать геометрически, толкуя три переменные как три координаты, и такое число координат нужно вводить в вычисления не только тогда, когда вопрос относится к поверхностям, но и тогда, когда исследуются кривые, не лежащие в одной плоскости. А как раз в последнем случае, чтобы определить кривую требуются два уравнения между тремя координатами, так что любые две из них могут рассматриваться как функции третьей. Однако природа поверхности определяется уже только одним уравнением между тремя координатами, так что лишь какую-либо одну из них можно считать функцией остальных двух. Отсюда получается большое различие в самом исследовании. Таким образом, данная глава дает средства для нахождения кривых, не лежащих в одной плоскости и обладающих каким-либо свойством максимума или минимума. [36]