Cтраница 3
Если известно одно частное решение у ( х), а х Ь, то нахождение общего решения сводится к решению линейного уравнения первого порядка. [31]
Таким образом, если известна фундаментальная система решений однородной системы уравнений ( 3), то нахождение общего решения системы уравнений ( 2) сводится к нахождению какого-либо частного решения этой системы. [32]
В том случае, когда система алгебраических уравнений имеет бесконечно много решений, можно ставить вопрос о нахождении общего решения в виде набора многочленов ( или рациональных функций) от некоторого числа параметров, дающего все решения системы при подстановке в нею всевозможных наборов значений параметров. Такое общее решение, как известно из линейной алгебры, допускает любая система линейных уравнений. Однако для произвольной системы алгебраических уравнений общего решения, вообще говоря, не существует. Вопросы, связанные с описанием многообразий решений произвольных систем алгебраических уравнений ( так называемых алгебраических многообразий), весьма сложны. Ими занимается раздел математики, называемый алгебраической геометрией. [33]
Если в (2.16) поменять местами х и у, то полученное выражение также будет решением (2.9) и его следует добавить к (2.16) для нахождения общего решения поставленной задачи. [34]
Классический период развития теории дифференциальных уравнений, начавшийся с Ньютона и Лейбница и в основном завершившийся во 24f пояовине XIX века работами Софуса Ли, ставил своей основной задачей нахождение общего решения возможно широких классов уравнений, в элементарных функциях или при помощи выражений, содержащих квадратуры от элементарных функций. Но очень скоро обнаружилось, что для подавляющего большинства уравнений и систем уравнений так поставленная задача неразрешима; таким образом, на этом пути оказалось невозможным построить общую теорию дифференциальных уравнений. Между тем задачи математического естествознания, главным образом механики и в особенности небесной механики, требовали разрешения часто весьма сложных систем уравнений. [35]
Классический период развития математического анализа - XVIII век - оставил в наследство математике так называемые элементарные методы интегрирования дифференциальных уравнений; тогда же был в основном выделен тот класс уравнений, в котором нахождение общего решения сводится к квадратурам или алгебраическим операциям. [36]
Приближенные методы позволяют решать широкий круг инженерных задач, в том числе задачи расчета электрических и магнитных полей, задачи гидродинамики, аэродинамики, теории упругости и др. Основным условием этих методов является нахождение общего решения дифференциального уравнения. Обычно это осуществляется значительно проще, чем подбор аппроксимирующей функции, удовлетворяющей граничным условиям. Для сложных граничных условий такую функцию подобрать часто невозможно. [37]
Непосредственное или последовательное интегрирование уравнений системы ( 38) невозможно, так как коэффициенты В2 и В3, входящие в каждое из уравнений, зависят от всех трех параметров: соь со2, С - Применение других аналитических методов ( например, метода исключения) для нахождения общего решения этой системы связано с определенными трудностями. [38]
Теперь мы снова возвратимся к составленным в § 78 диференциальным уравнениям ( 9) - ( 14) для перемещений и р и спросим себя, как мы можем притти к точным решениям этих уравнений, а вместе с тем и всей задачи. От нахождения общего решения мы вынуждены, конечно, отказаться и удовольствоваться лишь нахождением, по крайней мере, практически годных решений в отдельных частных случаях. [39]
Это уравнение является дифференциальным уравнением 4-го порядка относительно функции тока if; к тому же оно нелинейно. Поэтому нахождение общего решения представляет большие трудности. [40]
Если функция U ( г) задана, то, вычисляя интегралы (2.60) и (2.62) ( или (2.63)), можно получить общее решение для соответствующего вида взаимодействия. Однако до нахождения общего решения полезно, провести его качественный анализ. [41]
Во всех возможных случаях получается фундаментальная система частных решений, которая позволяет составить общее решение. Поэтому задача нахождения общего решения линейного однородного дифференциального уравнения л-го порядка с постоянными коэффициентами сводится к нахождению всех корней алгебраического уравнения л-й степени. [42]
Значит, задача нахождения общего решения неоднородной линейной системы сводится к нахождению одного частного решения этой системы, если фундаментальная система решений соответствующей однородной системы нам известна. Для решения этой задачи применим, как и в случае одного линейного уравнения 1-го порядка ( ср. [43]
В решении задачи в общем случае, когда нагрузка является неосесимметричной, составляющие нагрузки разлагаются в тригонометрические ряды Фурье по окружной координате и для каждой гармоники получаются системы дифференциально-алгебраических уравнений. Решение этих уравнений методом конечных элементов и нахождение общего решения суперпозицией решений, полученных для отдельных гармоник, позволяют найти напряженно-деформированное состояние конструкции РВС. [44]
В решении задачи в общем случае, когда нагрузка является неосе-симметричной, составляющие нагрузки разлагается в тригонометрические ряды Фурье по окружной координате и для каждой гармоники получаются системы дифференциально-алгебраических уравнений. Решение этих уравнений методом конечных элементов и нахождение общего решения суперпозицией решений, полученных для отдельных гармоник, позволяют найти напряженно-деформированное состояние конструкции РВС. [45]