Cтраница 2
В случае выпуклости множества X х: / г ( х) 0, г 1 т условия линейной независимости векторов / г ( х), соответствующих активным ограничениям, в предыдущей теореме можно заменить более просто проверяемым, а именно так называемым условием регулярности. Существуют различные условия регулярности ограничений; здесь будут рассмотрены следующие условия. [16]
На такие пространства переносится большая часть построений, выполняемых в действительных векторных пространствах; при этом линейные комбинации векторов берутся с комплексными коэффициентами, и в этом смысле понимаются линейная независимость векторов, базис и ( комплексная) размерность пространства. Комплексное векторное пространство называется конечномерным, если в нем существует базис из конечного числа векторов; в противном случае пространство называется бесконечномерным. Одномерное комплексное векторное пространство может быть просто отождествлено с пространством комплексных чисел, так как любой его вектор выражается в виде кратного базисного вектора ех, zst, где z - комплексное число, задающее вектор. Простейшее комплексное векторное пространство, представляющее самостоятельный интерес, следовательно, двумерно; оно называется спи-норным пространством, а векторы его - спинорами. [17]
Из определения линейной независимости векторов следует, что в этом случае все векторы системы линейно-независимы. [18]
Действительно, например, для векторов в пространстве эта теорема при М 2 автоматически верна, ибо любая система векторов, состоящая более чем из трех векторов, линейно зависима. При М - 2 она утверждает ( в не ограничивающем общности предположении линейной независимости векторов 6Ь, Ьм), что любая система компланарных векторов, состоящая более чем из двух векторов, линейно зависима, а при М, - что линейно зависима любая система коллинеарных векторов, состоящая более чем из одного вектора. [19]
Мы утверждаем, что эти поля попарно коммутируют и линейно независимы в каждой точке. Поскольку Е - изоморфизм Тх и Тх, то линейная независимость ковекто-ров grad / j эквивалентна линейной независимости векторов sgradf. Далее, a ft -, fj [ a / ь afj ] 0, так как функции / -, f - находятся в инволюции. Следовательно, поля sgradf попарно коммутируют, что и требовалось доказать. [20]
Матроиды были введены в начале тридцатых годов Биркгофом, Ван дер Варденом и Уитни, которые подошли к этому важному понятию с разных сторон. В своей книге Современная алгебра ( 1931) Ван дер Варден отмечает, что линейная независимость множеств векторов над полем и алгебраическая независимость множеств элементов поля над подполем имеют подобные комбинаторные свойства, а именно свойства ( 1 - 1) - ( 1 - 3) для независимых множеств матроидов, упомянутые перед теоремой 1.3.16. Матроиды, возникающие в случае линейной независимости векторов, в настоящее время называют линейными или координатизируемыми. [21]
Мы отложим обоснование этого более сильного факта до гл. Однако элементарное доказательство следующего результата допускает такое улучшение, что с его помощью можно установить линейную независимость упомянутых векторов инцидентности. [22]
В самом деле, пусть, например, пространство ( R) четырехмерно и qlt q2 q3, q4 - какой-то базис в ( У. Яз, РаКРа - РаГ1 - Наконец, полагаем p4 q4 - - YiPi - t - Y2P2 Y3P3 и подбираем коэффициенты YA так чтобы ( р, р ]) 0, ( Р4 Р2) 0, ( PI, Рз) 0; эт мы предоставим сделать читателю. Из линейной независимости векторов qft легко вывести, что все получающиеся здесь знаменатели отличны от нуля и потому этот процесс ортогонализации можно довести до конца; векторы plt p2, P3, Pi образуют в ( R) ортогональный базис. [23]