Cтраница 2
Так как функции yk и ys могут быть получены как линейные комбинации функций yk и ys, в силу тех же формул Эйлера, то такая замена не нарушит линейной независимости системы частных решений. [16]
Из того, что система ( 15) линейно выражается через систему ( 1G), вытекает теперь, что система ( 17) также линейно выражается через систему ( 16), а поэтому и через эквивалентную ей систему ( 18), после чего остается, используя линейную независимость системы ( 17), применить основную теорему. Второе утверждение доказываемого следствия непосредственно вытекает из первого. [17]
Для этого разложим S по базису (9.9) и применим к обеим частям разложения оператор Р; так как PSS, получаем требуемое разложение. Чтобы доказать линейную независимость системы (9.13), достаточно установить ее ортогональность. [18]
Следовательно, векторы-строки матрицы А линейно зависимы, а значит, линейно зависимы строки матрицы А, которая получается из А перестановкой столбцов. Однако это противоречит условию линейной независимости системы векторов-строк матрицы А, и ступенчатая матрица В не может иметь в последней строке только нули. [19]
Пользуясь тем, что ф - А - Ф, на основании тех же рассуждений покажем, что при линейной независимости системы (6.23) в Я система (6.1) линейно-независима в Я. Следовательно, если линейный оператор Л из Я в Я имеет обратный оператор, то для линейной независимости системы элементов (6.23) в Я необходима и достаточна линейная независимость системы элементов (6.1) в Я. [20]
Пользуясь тем, что ф - А - Ф, на основании тех же рассуждений покажем, что при линейной независимости системы (6.23) в Я система (6.1) линейно-независима в Я. Следовательно, если линейный оператор Л из Я в Я имеет обратный оператор, то для линейной независимости системы элементов (6.23) в Я необходима и достаточна линейная независимость системы элементов (6.1) в Я. [21]
Перебирать все миноры в поисках базисного-задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Если найден минор порядка s, не равный нулю, то s столбцов, в которых он расположен, линейно независимы. К этим столбцам добавляют по одному, пока не найдут такого, который вместе с ним образует линейно независимую систему, или не убедятся, что каждый столбец линейно выражается через исходные s столбцов. В первом случае процесс продолжают, а во втором - минор порядка s является баьисным. Чтобы проверить линейную независимость системы из s 1 столбцов, достаточно найти отличный от нуля минор порядка s - f - 1, расположенный в этих столбцах. Чтобы отбросить столбец, как линейную комбинацию предыдущих, нужно доказать, что все такие миноры порядка s 1 - нули. [22]