Cтраница 2
К этому же виду приводится гамильтониан задачи о движении по окружности п одинаковых точек, попарно связанных упругими пружинами. С помощью метода Ковалевской в [177] доказано, что при п 3 и п 4 для почти всех начальных условий переменные ув и ехр ( гжа) не будут мероморфными функциями комплексного времени. В частности, система Гросс - Неве алгебраически неинтегрируема. Подчеркнем, что алгебраически неинтегрируемые системы могут быть вполне интегрируемыми ( см. § 9 гл. [16]
Этот результат аналогичен результату, полученному в задаче о взаимодействии бризеров в нелинейной решетке - и там в результате множества соударений обмен энергией приводит к росту большего возбуждения. Модель, которую использовали Дузиа и Пейрард ( 1993), была дискретна. В нашем непрерывном случае причина явления лежит в отклонении от интегрируемости. Таким образом мы можем перефразировать философский вывод Дузиа и Пейрарда: мир солитонов неинтегрируемых систем, как и реальный мир, беспощаден к слабым - большие солитоны возрастают за счет меньших. [17]
Для интегрируемых систем, наряду с такими известными методами, как метод обратной задачи рассеяния и другими, аналогичными ему, представлен разработанный нами метод построения точных решений. Это позволяет нам в замкнутой форме описать динамику солитонов в волокнах с двойным лучепреломлением и в нелинейных ответвителях. Удивительно, что для многих неинтегрируемых систем, как гамильтоновых, так и негамильтоновых, были найдены точные решения. Некоторые из них отражают симметрии рассматриваемых систем, природа других остается неясной. [18]
В неинтегрируемых системах, где движение в фазовом пространстве не ограничено многомерными торами, формулы квазиклассического квантования не применимы. Дальнейшее развитие квантовой теории пошло несколько иным путем, и благодаря работам Гайзенберга, Шредингера, Паули и др., была создана современная квантовая механика. Интерес к квазиклассической квантовой механике возродился примерно полвека спустя, когда Гутцвиллер сумел преодолеть трудности, возникающие при квантовании неинтегрируемых систем. [19]