Cтраница 1
Непрерывность траекторий В в точке 0 следует из теоремы 8, а остальные свойства броуновского движения проверяются легко. Искомые утверждения получаются теперь из теоремы 8 при s - оо. [1]
Условие непрерывности траекторий во всем замкнутом отрезке [ rv r2 ] оставляет лишь три возможности. Именно, в граничной точке г возможны поглощение ( поглощающий экран), отражение ( отражающий экран) и явление так называемого эластичного экрана, представляющее собой комбинацию явлений поглощения и отражения. [2]
Воспользоваться непрерывностью траекторий и тем, что при условии та t и исходном состоянии ( та) а в последующем движении броуновская частица в момент t - ia оказывается правее или левее исходной точки х - а с равными вероятностями. [3]
Из условия непрерывности траекторий легко заключить, что функция ф: / - В измерима. Но тогда, как это хорошо известно из теории полугрупп линейных операторов ( см. Данфорд, Шварц [ 40, с. Положив теперь p ( z) p ( i, х2), получим то, что требовалось. [4]
Условие (4.16) гарантирует почти наверное непрерывность траекторий марковского процесса [ 3.3, с. Хотя оно и гарантирует непрерывность траекторий, оно же утверждает, что траектории диффузионного процесса извилисты: они ведут себя не менее причудливо, чем траектории ви-неровского процесса. Разумеется, этого можно было ожидать в свете сказанного. Столь извилистые траектории необходимы для того, чтобы подлинно случайный процесс был марковским. [5]
Теперь обсудим некоторые вопросы, касающиеся непрерывности траекторий случайных функций. Начнем со следующего классического результата Колмогорова. [6]
Первое условие обеспечивает ( Р - п.н.) непрерывность траекторий процесса. [7]
Диффузионные процессы составляют класс процессов, которые характеризуются двумя свойствами: марковостью и непрерывностью траекторий. Так как обсуждение диффузионных процессов в пол-нон общности выходит у а рамки этой книги), мы ограничимся рассмотрением класса диффузионных процессов, которые могут ыть описаны посредством стохастических дифференциальных уравнений. Этот класс диффузий является достаточно широким как для теории, так и для приложений); к тому же стохастическое исчисление снабжает нас очень мощным орудием для изучения таких диффузий. [8]
Заметим, что ни из одного из трех условий ( особенно из последнего) отнюдь не следует непрерывность траекторий случайного процесса. [9]
Таким образом, распределение непрерывного функционала - максимума модуля вектор-функции траектории - также слабо сходится к соответственному предельному распределению. В силу непрерывности траекторий предельного процесса они ограничены по вероятности. [10]
Условие (4.16) гарантирует почти наверное непрерывность траекторий марковского процесса [ 3.3, с. Хотя оно и гарантирует непрерывность траекторий, оно же утверждает, что траектории диффузионного процесса извилисты: они ведут себя не менее причудливо, чем траектории ви-неровского процесса. Разумеется, этого можно было ожидать в свете сказанного. Столь извилистые траектории необходимы для того, чтобы подлинно случайный процесс был марковским. [11]
Таким образом, типичные особенности решения veD исходной задачи, вытекающие из условий (17.42), не фигурирующих явно в задаче В, присутствуют в решении последней. К этому следует добавить непрерывность траектории К ( г), veDB всюду на интервале ( О, Т), что будет сделано ниже. [12]
Никакого противоречия здесь, конечно, нет: хотя х ( t) и имеет точки разрыва, но для каждого отдельного t вероятность появления разрыва между моментами t и t h при малом h очень мала, так что и средний квадрат разности X ( t h) - X ( t) мал. Для нахождения же условий непрерывности траекторий сразу во всех точках нужен, очевидно, совсем другой подход, не опирающийся уже на рассмотрение одних лишь пределов в среднем квадратичном; на нем мы здесь не будем задерживаться. [13]
Из сравнения этих картин можно визуально определить различия в характере обтекания более концентрированной системы. Вне ячеек линии тока изображены в силу свойств непрерывности траекторий жидких частиц. [14]
Условие а) предполагает наличие твердых масштабов как угодно малых длин, условие б) - часов, которые в состоянии отсчитывать как угодно малые промежутки времени с твердым масштабом времени, а условие в) характеризует, в частности, непрерывность траектории. Все три условия представляют собой, в сущности, экспериментально не оправданную, далеко идущую экстраполяцию довольно грубого опыта. [15]