Cтраница 2
Из полной непрерывности оператора А, как известно, вытекает полная непрерывность оператора А. [16]
Условия полной непрерывности операторов вида (16.1) можно получить, используя признаки компактности семейства функций в пространствах Орлича. Более простой путь заключается в установлении возможности сколь угодно точной аппроксимации оператора (16.1) заведомо вполне непрерывным оператором. В качестве таких аппроксимирующих операторов удобно рассматривать также интегральные операторы, но с непрерывными ядрами. [17]
Утверждение теоремы 26.3 следует из теоремы 26.1 и ее доказательства. Конечномерность соответствующего подпространства Е вытекает из полной непрерывности оператора А. [18]
Компактные операторы часто называют вполне непрерывными. Согласно определению Гильберта ( в / 2), полная непрерывность оператора означает, что он переводит всякую слабо сходящуюся последовательность в сильно сходящуюся последовательность. В рефлексивном пространстве-эти два определения совпадают ( упр. [19]
Если хп содержит ограниченную подпоследовательность, то в силу полной непрерывности оператора А некоторая подпоследовательность Axnk сходится, следовательно, xnk - ( Axnk - ynk) - жо. [20]
Из полной непрерывности оператора А, как известно, вытекает полная непрерывность оператора А. [21]
Допустим дополнительно, что пространство Е слабо полно, единичный шар в Е слабо компактен, конус К. В этих предположениях почти все утверждения главы сохраняют силу, если предположение о полной непрерывности оператора А заменить предположением о его слабой непрерывности. [22]
На основании понятия сложности предлагаются принципы аналитического синтеза систем управления: минимальной и ограниченной сложности. Эта связь заключается в том, что регуляризация некорректных задач приводит к минимизации сложности, а минимизация сложности при компактности шкалы сложности и полной непрерывности оператора Эйлера функционала сложности приводит к регуляризации некорректной задачи. [23]
Гильберта - Шмидта и, значит, вполне непрерывны. Вполне непрерывные операторы образуют замкнутый идеал в кольце всех ограниченных операторов. Поэтому для доказательства полной непрерывности оператора Fjfl достаточно убедиться, что последовательность операторов ФЛ по норме сходится к pjfl, когда k - оо. [24]
При этом наиболее хорошо изученным классом уравнений вида ( 1) является класс уравнений с вполне непрерывным оператором F. Именно это свойство типично для обыкновенных дифференциальных уравнений с линейным обыкновенным дифференциальным оператором С и локальным оператором ( оператором Немыцкого) F, который при естественных предположениях вполне непрерывен ( сокр. Свойство полной непрерывности оператора позволяет продуктивно использовать для исследования разрешимости уравнений различные принципы неподвижных точек, вытекающие из принципа Шаудера или основанные на методе монотонных операторов. [25]
В § 24 устанавливаются теоремы существования и единственности решений для нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и - Bhu как в пространствах функций, так и в пространствах вектор-функций. Основное отличие этих теорем от теорем, содержащихся в монографии ВМ, заключается в следующем. В ВМ всюду предполагается потенциальность оператора Немыцкого h и самосопряженность линейного интегрального оператора В, причем эти требования существенно используются. Там многие теоремы используют и полную непрерывность оператора В. Здесь все теоремы свободны от требования полной непрерывности оператора В, причем в некоторых теоремах отсутствует даже требование ограниченности этого оператора. [26]
В § 24 устанавливаются теоремы существования и единственности решений для нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и - Bhu как в пространствах функций, так и в пространствах вектор-функций. Основное отличие этих теорем от теорем, содержащихся в монографии ВМ, заключается в следующем. В ВМ всюду предполагается потенциальность оператора Немыцкого h и самосопряженность линейного интегрального оператора В, причем эти требования существенно используются. Там многие теоремы используют и полную непрерывность оператора В. Здесь все теоремы свободны от требования полной непрерывности оператора В, причем в некоторых теоремах отсутствует даже требование ограниченности этого оператора. [27]