Cтраница 1
Непротиворечивость геометрии Лобачевского следует из существова ния модели и непротиворечивости действительных чисел. Одна из первы; моделей геометрии Лобачевского была построена Пуанкаре. Лобачевский занимаясь вопросом доказательства пятого постулата Евклида, получил тако количество теорем, которые убедили его в невозможности получить проти воречие, хотя реальной модели создано не было. [1]
Схема доказательства непротиворечивости геометрии Лобачевского излагается в § 3 настоящего Приложения. [2]
Это доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского не просто; оно проводится при помощи предъявления модели геометрии Лобачевского, в которой выполняются именно его аксиомы. Одна из таких моделей ( модель Клейна) изображает плоскость Лобачевского как внутренность круга, а прямые Лобачевского - как его хорды. Провести через точку круга много хорд, не пересекающихся с какой-либо данной хордой, не проходящей через эту точку, нетрудно. Проверка остальных аксиом геометрии в этой модели тоже не очень трудна, но трудоемка, так как этих аксиом много. Например, любые две точки внутри круга можно соединить прямой Лобачевского ( хордой), и притом только одной и так далее. Все это явно проделано в учебниках и занимает много ( скучных) страниц. [3]
Клейну и Пуанкаре доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского - Бойай относительно геометрии Эвклида. [4]
Таким образом, была показана непротиворечивость геометрии Лобачевского. [5]
Основанное на этой интерпретации доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского безупречно. [6]
Этот результат был воспринят как доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. [7]
Klein, 1871) проективная модель неевклидовой геометрии Лобачевского сводит вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского к непротиворечивости евклидовой геометрии. Однако не видно было, какими средствами можно строить модели анализа и арифметики для доказательства их непротиворечивости. Гильберта состоит в том, что он указал прямой путь для исследования этого вопроса. [8]
Иначе говоря, речь идет не о доказательствах в строго логическом смысле, а о наглядных иллюстрациях. Ведь доказательство непротиворечивости геометрии опирается на теорию действительных чисел, так что геометрическое пояснение законов действий над действительными числами не может рассматриваться как их доказательство. [9]
Понятие модели тесно связано с методом интерпретаций, применявшимся при исследовании аксиоматич. Клейна, посвященных непротиворечивости геометрии Лобачевского. [10]
Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. Слабая сторона метода интерпретаций состоит в том, что в вопросах непротиворечивости и независимости систем аксиом он дает возможность получать результаты, носящие неизбежно лишь относительный характер. Но важным достижением этого метода стал тот факт, что с его помощью была выявлена на достаточно точной основе особая роль арифметики как такой математич. [11]
Метод интерпретаций позволяет также решать вопрос о независимости систем аксиом: для доказательства того, что аксиома А теории Т не выводима из остальных аксиом этой теории и, следовательно, существенно необходима для получения всего объема данной тео-рпи, достаточно построить такую интерпретацию теории Т, в к-рой аксиома А была бы ложна, а все остальные аксиомы этой теории истинны. Упомянутое выше сведение проблемы непротиворечивости геометрии Лобачевского к проблеме непротиворечивости евклидовой геометрии, а этой последней - к вопросу о непротиворечивости арифметики имеет своим следствием утверждение, что V постулат Евклида не выводим из остальных аксиом геометрии, если только непротиворечива арифметика натуральных чисел. [12]
Для ответа на этот вопрос вспомним, как была доказана непротиворечивость геометрии Болиаи-Лобачевского. [13]
Таким образом, во многих случаях попытки установления непротиворечивости с помощью модели по самому своему существу имеют относительную ценность: теория непротиворечива, если непротиворечива сама модель. Как уже было сказано в § 3.1, можно предложить интерпретацию геометрии Бойаи-Лобачевского средствами геометрии Евклида. Тем самым установлена относительная непротиворечивость геометрии Бойаи-Лобачевского: она непротиворечива, если непротиворечива евклидова геометрия. [14]
Чтобы обосновать какую-нибудь теорию, со времени Евклида считалось достаточным выделить в ней небольшое число ясных простейших первичных начал и убедиться, что все основные положения данной теории можно вывести из них чисто логически. Подразумевалось, что связь этих начал с действительным миром должна быть доступной непосредственному восприятию. Необходимость этого метода была обусловлена тем, что в математике стали рассматриваться объекты и теории, для к-рых не удавалось найти реального истолкования. Это, прежде всего, комплексные числа, идеалы, неевклидовы и n - мерные геометрии. Так, в предположении, что непротиворечива евклидова геометрия, была доказана непротиворечивость геометрии Лобачевского, а непротиворечивость евклидовой геометрии была сведена к непротиворечивости А. [15]