Cтраница 2
Доказать непротиворечивость какой-либо теории представляется на первый взгляд очень трудной, почти невыполнимой задачей. В самом деле, как проследить все мыслимые следствия из аксиом данной теории и убедиться, что никакие два из них не противоречат друг другу. К счастью, имеется простой общий метод, который упрощает эту задачу и часто приводит к цели. Вспомним, что противоречивая система аксиом не имеет ни одного реального или мыслимого объекта, который бы ей удовлетворял. Поэтому теория непротиворечива, если удалось найти хотя бы один подобный объект. Именно таким образом в 1860 г. итальянский математик Эженио Бельтрами ( 1835 - 1899) доказал непротиворечивость геометрии Лобачевского-Болиаи. Он открыл поверхность, на которой действительно выполняются все аксиомы этой геометрии. Существование такой поверхности и ее свойства вытекают из аксиом геометрии Евклида. [16]
Таким образом, многие теоремы двумерной евклидовой геометрии справедливы и для двумерной геометрии Лобачевского. Можно пытаться проверить, какие из этих аксиом остаются верными в геометрии Лобачевского. Если бы оказалось, что все они справедливы, то можно было бы утверждать, что и все теоремы евклидовой геометрии справедливы в геометрии Лобачевского, поскольку они являются логическим следствием аксиом. Но из рис. 26 видно, что аксиома о параллельных не имеет места в геометрии Лобачевского. Поэтому теоремы, обычное доказательство которых опирается на эту аксиому, могут быть неверны в геометрии Лобачевского. Существование и непротиворечивость геометрии Лобачевского являются доказательством того, что аксиома о параллельных не может быть выведена из остальных аксиом евклидовой геометрии. [17]
При формальном описании теории задается ее язык ( правила построения выражений разл. Доказательство есть последовательность формул, каждая из которых либо является аксиомой, либо получается из предыдущих по одному из правил вывода. А, либо А, либо отрицание А является теоремой. При построении формальных теорий вопрос о непротиворечивости является ключевым. Для установления непротиворечивости обычно используется метод интерпретаций. При семантической интерпретации строится модель теории: теоремы превращаются в истинные содержательные утверждения об объектах некоторого универсума. Если теория имеет модель, то она непротиворечива. Путем интерпретации доказательство непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к доказательству непротиворечивости теории действительных чисел, а доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского - к доказательству непротиворечивости евклидовой геометрии. [18]