Cтраница 2
В соответствии с правилами построения транзитивного замыкания ( § 3.1) стимулом к продвижению вдоль дуг является непустота стартового множества. Условие непустоты множества, изображаемого логической шкалой некоторой длины, мы оформим в виде логической процедуры-функции, так как такие проверки у нас будут встречаться неоднократно. После построения всей программы мы определим надлежащий уровень локализации этой процедуры с тем, чтобы ее описание было бы доступно всем вызовам. [16]
В формулировке леммы 1.2 утверждается, что включение 1.2 выполняется для произвольного непустого множества выбираемых решений. Если Sel X 0, то включение (1.2) также имеет место, поскольку, как принято в теории множеств, пустое множество содержится в качестве подмножества в любом множестве. Поэтому условие непустоты множества выбираемых решений в формулировке леммы 1.2 можно было бы опустить; при этом справедливость рассматриваемой леммы не нарушается. По этой причине здесь и всюду далее в подобных ситуациях, когда речь пойдет о включениях, содержащих множество выбираемых решений ( или множество выбираемых векторов), мы будем подчеркивать непустоту этих множеств, чтобы сразу исключить из рассмотрения бессодержательные с практической точки зрения случаи. [17]
Гильберта сформулирована как задача нахождения общего метода, позволяющего решать этот вопрос для любого алгебраич. Гильберта может иметь и отрицательное решение ( см. Диофантовых уравнений проблема разрешимости), и наиболее интересным является вопрос о том, для каких классов диофантовых уравнений такой алгоритм существует. Известно несколько общих подходов к этой задаче. Он состоит в рассмотрении наряду с исходным полем К его пополнений Kv по всевозможным нормированиям. Поскольку Х ( К) а cX ( Kv), то необходимым условием существования К-рациональной точки является непустота множеств X ( KV) для всех и. Значение принципа Хассе состоит в том, что он сводит вопрос о существовании точки к аналогичному вопросу над локальным полем. Последняя задача существенно проще - для нее известен алгоритм, а в частном важном случае, когда многообразие X проективно и неособо, Гензеля. Но уже для кривых 3 - й степени принцип Хассе неприменим. Основную трудность теории составляет отсутствие способов вычисления группы Ш, к-рая ( к 1978) не вычислена ни для одного многообразия. Эта теория распространена и на другие классы алгебраич. [18]