Cтраница 4
Иначе обстоит дело для задачи Гильберта. Она принадлежит к числу простейших и имеет в случае одно-связной области законченное решение методом, не связанным с интегральными уравнениями. В случае многосвязной области этот метод тоже применим, но в связи с возможностью многозначных решений он не дает исчерпывающих результатов. Однако и в этом стучае первый законченный результат ( неразрешимость задачи с отрицательным индексом) получен этим методом. Дальнейшие законченные результаты ( х О, к т - 1) получены путем комбинирования этого метода с методом интегральных уравнений. [46]
Здесь, прежде всего, изложены интересные графические приемы нахождения действительных корней уравнений с параметрами. Материал этот близок к школьному преподаванию, представляет интерес для учителя и может быть использован в кружковой работе со школьниками. В полной мере к освещению проблем элементарной математики с точки зрен-ия математики современной относится обсуждение вопросов, связанных с комплексными числами, основной теоремой алгебры, двучленными уравнениями, неразрешимостью задачи трисекции угла в общем виде. Вместе с тем заключительные разделы Алгебры излагают вопросы, составлявшие главным образом предметы собственных работ Клейна. Эти идеи находят замечательное осуществление в вопросах о том, как слить различные отделы математики в одно целое и как геометрические представления помогают уяснить аналитические теории. Но хотя в ряде мест Клейн возвращается к школьным проблемам и дает крупицы ярких и интересных мыслей о преподавании ( например, в связи с решением кубических уравнений), в целом эти идеи стоят далеко от школы, и изучение их вряд ли может принести существенную пользу будущему преподавателю. Однако для студентов и математиков, которые интересуются алгеброй, эти главы представляют глубоцайший интерес. Впрочем, сама идея этих исследований Клейна очень близка к вопросам элементарной математики. В общих чертах она сводится к следующему С давних времен были указаны методы вычисления корней двучленных уравнений вида хп а. Пожалуй, именно в связи с этим извлечение корня было отнесено к числу операций, которые должны считаться хорошо известными и изученными. Как известно, это удалось для уравнений второй, третьей и четвертой степеней. Подобно тому как были изучены двучленные уравнения, можно искать новые типы основных уравнений, изучить, определяемую этими уравнениями функциональную зависимость и попытаться свести дальнейшие группы уравнений к этим новым основным типам. К такому направлению относится известное исследование Клейна об икосаэдре, общие результаты которого и приведены в главе II Алгебры. Руководящей нитью здесь служило изображение функциональной зависимости, определяемой основным уравнением, на римановой поверхности. Эта зависимость в случае двучленных уравнений приводит к уравнению диэдра. Дальнейшее развитие идеи, которое читатель найдет в тексте, приводит к уравнениям многогранников. [47]
Эту форму он называет смыслом. Получается такая конструкция: область трансцендентного становится, как предпосылка, чисто формальной ( а не действительной) - это область смысла. Но тогда объект оказывается производным от ценностей, поскольку они выступают как долженствования. Все попытки Рнккерта решить эту задачу, выразившиеся в глубоком н топком логич. Неразрешимость задачи единства субъекта н объекта, заключает он, есть плод логпч. [48]
Рассмотрим рис. 237 и 238 из решения предыдущей задачи. На них наглядно показано, каким образом условия задачи приводят к противоречию. Если выяснится, что утверждение () за висит не от содержания утверждений ( 1) - ( 6), а только от того, что входящие в их число 2 утверждения жителя Кривдина и одно из утверждений жителя Середины-на - Половине заведомо ложны, а остальные утверждения ( другое утверждение жителя Середины-на - Половине и два утверждения жителя Правдычина), заведомо истинны. О чем идет речь в каждом из утверждений, не важно. Утверждения, охваченные фигурной скобкой, при доказательстве неразрешимости задачи никак не используются, и их можно вычеркнуть. [49]