Cтраница 3
Для ограниченности матрицы Грама (4.3) квазинормальной системы элементов (4.1) необходима и достаточна ограниченность в совокупности снизу числом больше нуля норм элементов союзной с ней системы. [31]
Вогнутость оператора означает, что он содержит лишь слабые нелинейности - значения оператора на элементах конуса растут медленно при росте норм элементов. Выпуклость же оператора означает, как правило, что он содержит сильные нелинейности. В соответствии с этим уравнения с вогнутыми операторами и уравнения с выпуклыми операторами обладают рядом различий; так, первые близки по своим свойствам к соответствующим скалярным уравнениям, для вторых же такой близости нет: напр. [32]
Вводя в этом пространстве скалярное произведение по формуле ( X, Y) М IXK ] Кху и на его основе норму элемента Х У ( X, X) УМ X 2 ах, мы превращаем пространство нормально распределенных случайных величин в линейное нормированное пространство со скалярным произведением. В нем всякая сходящаяся в себе последовательность сходится к элементу этого же пространства. [33]
Во многих линейных функциональных множествах удается ввести метрику специальным образом так, что за основное принимается не понятие расстояния, а некоторое другое - норма элемента. [34]
Для выяснения некоторых вопросов, например, о корректности задач, удобно в рассматриваемых классах функций вводить метрику - расстояние между элементами ( функциями) или норму элемента. Таким образом, вводятся в рассмотрение различные нормированные пространства функций. [35]
Допустим, что у нас с помощью какой-либо ортонормальной системы осуществлено взаимно однозначное соответствие между 12 и / 2, которое не нарушает линейных соотношений в этих пространствах и сохраняет норму элемента. [36]
Но STO означает, что x - l l / r; таким образом, при подходе х к границе множества О, причем, разумеется, г - 0, норма элемента я 1 неограниченно возрастает. [37]
Если же система элементов (4.1) сильно минимальна, то матрица Грама союзной с ней системы ограничена и, следовательно, ограничены в совокупности и элементы главной диагонали этой матрицы, являющиеся квадратами норм элементов союзной системы. [38]
Для слабой сходимости этой последовательности необходимо и достаточно, чтобы: 1) последовательность чисел ( f, h) сходилась для всех элементов h некоторого множества М, замыкание линейной оболочки которого есть Я; 2) нормы элементов / были ограничены. [39]
Элементы t ( a) и га ( а) называются соответственно следом и нормой элемента а. [40]
Всякое гильбертово пространство является банаховым. Естественно, что все понятия и свойства, связанные с существованием нормы, характерны и для гильбертова пространства. Но норма элементов в гильбертовом пространстве, вводимая на основе скалярного произведения, обладает специфическими свойствами. Для нее, например, выполняются лемма о параллелограмме и теорема Пифагора. [41]
Тогда метрика вводится естественным образом ( если норма элемента / G С2 обозначена символом / 2, то метрика р2 в этом пространстве определяется равенством р2 ( / ( 1), f ( 2)) 1 / ( 1) - / ( 2) II 2 и с ее помощью определится понятие непрерывной зависимости. [42]
А и В с нормой ( и, v) ILxB li IL llflU рассмотрим подпространство L, состоящее из элементов вида w ( z, - z), геЛП5, и фактор-пространство AxB / L. Обратно, для любого элемента лгеЛ 5 нары ( и, v), отвечающие всевозможным представлениям х - - U V, образуют класс смежности пространства АхВ по подпространству L. Далее, из определения нормы (3.2) видно, что норма элемента лгеЛ В равна норме соответствующего класса в фактор-пространстве AxB / L. Таким образом, А В изометрично AxB / L. Как известно ( см. [3], Сводка результатов, § 5, 5), фактор-пространство банахова пространства но его подпространству ( замкнутому) является банаховым пространством и, следовательно, таким же будет пространство А В. Из сказанного видно, что в случае, когда ЛП - О, А - - В изометрично прямому произведению пространств Л и В. [43]
Доказательство того, что в этом включении имеет место знак равенства, требует некоторой техники. Важную роль в доказательстве играет теорема отделимости ( теорема 12), которую мы докажем ниже. Для ее доказательства нам понадобятся некоторые свойства семейства В, состоящего из операторов, сопряженных к элементам из В. Следовательно, В - булева алгебра проекторов, нормы которых ограничены тем же числом, что и нормы элементов из В. Вопрос о полноте В ( при условии, что В полна) выясняется в следующих ниже определении и лемме. [44]
Говоря об элементах пространства LP, мы будем отождествлять между собой функции, которые отличаются друг от друга на множестве меры нуль. Назовем эквивалентными между собой две функции, которые отличаются друг от друга на множестве меры нуль. Действия над такими классами производятся по их представителям. Легко понять, что результат не зависит от выбора представителя класса и что так определенное пространство IP является линейным пространством. Кроме того, очевидно, что-при определении нормы равенством (1.1) мы получаем одинаковую-норму для всех эквивалентных между собой функций. Следовательно, норма элемента пространства L - класса эквивалентности - определяется по любому его представителю. [45]