Cтраница 2
Для двумерного уравнения Шредингера мы восстанавливаем потенциал v W N9 V3 e0 ( N раз гладкий потенциал), по амплитуде рассеяния / при фиксированной энергии Е с точностью до O ( E - ( N-2) / 2) в равномерной норме при Е - оо. [16]
В теореме 2.1 мы даем, в частности, процедуру ( линейные уравнения и формулы) для восстановления потенциала v WEM1 ( 1K2), N9M3 e0, по амплитуде рассеяния / при фиксированной энергии Е с точностью до О ( Е - ( М-2) / 2) в равномерной норме при Е - оо. [17]
К первому типу относятся оценки в равномерной норме. [18]
С и k - некоторые постоянные, не зависящие от / г, то будем говорить, что имеет место сходимость порядка k в соответствую - щей норме. Эйлера, сходится к точному решению в равномерной норме с первым порядком. Однако в общем случае такое исследование весьма затруднительно. В дальнейшем мы покажем, что сходимость разностной схемы может быть сведена к двум другим, более легко проверяемым свойствам: аппроксимации и устойчивости. [19]
Техника доказательств, использованная в [1], впоследствии получила свое развитие, что позволило перенести ее на квазилинейный случай. В последней работе приведены и теоремы о непрерывной зависимости в равномерной норме непрерывного обобщенного решения смешанной задачи от начальных и краевых условий, а также от правых частей системы и функций А. [20]
Важным свойством решений эллиптических граничных задач является свойство положительности решения при положительных правых частях. Из него следуют, в частности, оценки решений в равномерных нормах. В § б доказана положительность обобщенных решений, принадлежащих пространству BV2, без каких бы то ни было дополнительных условий гладкости решений, а также строгая положительность первой собственной функции. Эти результаты дают возможность в дальнейшем ( глава IX) проводить исследование граничных задач для квазилинейных эллиптических уравнений, систематически используя аппарат верхних и нижних функций непосредственно для обобщенных решений, не заботясь об их гладкости. [21]
Несмотря на все эти привлекательные свойства, многочлены Бернштейна никогда не использовались широко для построения аппроксимаций с минимальной нормой отклонения, рассмотренных выше. Причина в том, что многочлены Бернштейна очень медленно сходятся в равномерной норме. [22]
Если fi ( Q) Н - оо, функция р0 не является пренебрежи-мой а р 1 ( Q), то вложение V в Cbd ( Q) компактно. Здесь Cbd ( Q) - банахово пространство ограниченных непрерывных на и функций с равномерной нормой. Если, кроче того, и область Q ограничена, то вложение V в C ( Q) компактно. [23]
Z ] люфта, если их рассматривать в пространстве С непрерывных вектор-функций ( с равномерной нормой), не удовлетворяют на всем пространстве условию Липшица. Это обстоятельство усложняет в ряде случаев исследование замкнутых систем, содержащих люфты. [24]
F верхние грани функций a, A, 7 j / в ограниченных областях их определения, которым должно принадлежать искомое решение. Рассмотрим пространство В ( Т ] непрерывных функций и: П ( Т) - Rm с равномерной нормой. [25]
Чаще всего в роли ( В берут пространство В ( Е) ограниченных действительных функций / на Е с равномерной нормой ( а для феллеровского процесса X - пространство С ( Е) непрерывных функций с той же нормой) или пространство V ( Е) коночных счетно аддитивных функций р на 93 с полной вариацией в качестве нормы. [26]
Таким образом обнаруживается замечательный факт: всякое нормированное кольцо без радикала вполне изоморфно некоторому нормированному кольцу непрерывных функций па некотором бикомпакте. Мг) фх ( М2), оно, по известной теореме Стопа, оказывается плотной частью пространства С ( 9) всех непрерывных функций па Щ с обычной равномерной нормой. [27]
Эта теорема позволяет вычислять функционал действия для гауссовских случайных процессов и полей в произвольных гильбертовых нормах. Требуется только, чтобы реализации процесса принадлежали соответствующему гильбертову пространству. В ряде задач, например, в задачах о пересечении уровня случайным процессом пли полем, желательно иметь оценки в равномерной норме. [28]
Рассматривается задача интегрирования для класса периодических функций с ограниченной r - й производной. Показано, что квадратурная формула прямоугольников и равноотстоящие точки информации оптимальны. Доказательства основаны на точных оценках А - й производной периодических сплайнов в пространствах Орлича с равномерной нормой. [29]