Cтраница 1
Кривая Жордана представляет собой топологический образ окружности. Свойство такой кривой разделять плоскость основано на теореме Жердана. Эта теорема гласит, что если J - кривая Жордана в ( х1 ( х2) - плоскости п, то дополнение J п - J, является объединением двух открытых множеств Si и Se без общих точек, каждое из которых имеет J своей границей. [1]
Кривая Жордана Г, удовлетворяющая этому условию, называется кривой Ляпунова. [2]
Так как гладкая кривая Жордана является спрямляемой, то в качестве параметра t в представлении ( 8) можно принять длину s дуги Г, отсчитываемую от произвольно фиксированной точки Г в положительном направлении. [3]
С - замкнутая спрямляемая кривая Жордана; необходимое и достаточное условие того, чтобы все ортогональные многочлены рп ( х) имели общий нуль х0 внутри С, таково: w ( х) С W ( x) почти всюду на С; если, кроме того, все многочлены pri ( x) f должны иметь еще один общий нуль хг внутри С, то необходимо и достаточно, чтобы контур был окружностью. [4]
Теорема 4.1. Если J - кривая Жордана в D, не содержащая на себе или. [5]
Теорема 4.2. Если J - кривая Жордана, окружающая конечное. [6]
Пусть Г - замкнутая или разомкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана и / ( /) - заданная на Г непрерывная функция. [7]
Гораздо более общим предположением, при котором все сказанное выше имеет место, является предположение, что / есть спрямляемая кривая Жордана. Определим точно это понятие. [8]
Тогда кривая Jn, состоящая из дуги Р Рп 1 на С и прямолинейного интервала РП 1РП на I, есть кривая Жордана, которая имеет внутренность 1п и внешность Еп. [9]
Приведенное выше доказательство непрерывности по Гельдеру интеграла в смысле главного значения / ( t0) без особого изменения переносится на случай, когда линией интегрирования является гладкая кривая Жордана, замкнутая или разомкнутая. [10]
Эта задача уже была исследована в предыдущем пункте в предположениях, что a, b, f непрерывны по Гельдеру, искомая функция F ( г) также непрерывна по Гельдеру в D ( J Г, а Г - замкнутая гладкая кривая Жордана. [11]
Пусть 5 - замкнутая кусочно-гладкая кривая Жордана, а / ( /) - заданная на ней непрерывная функция. В пункте 4е § 2 настоящей главы было показано, что интеграл типа Коши ( 49) в каждой точке г, не лежащей на S, является аналитической функцией. Когда точка г е S, интеграл типа Коши в обычном понимании, очевидно, не существует, но при некоторых дополнительных предположениях относительно функции f ( f) и кривой S ему можно придать вполне оправданный смысл. [12]
Пусть Г - кусочно - гладкая кривая Жордана, а ( А ( /) - заданная на Г интегрируемая функция. [13]
С, служат границей односвязной области. Кривая ( L) не есть кривая Жордана, потому что, пересекая ее прямой, параллельной оси л, мы получим точки, имеющие предельной любую точку отрезка АВ. Точки отрезка АВ кроме точки А не достижимы изнутри. Если вместо ( L1) взять кривую ( /, ), примыкающую к точке В, то эти точки будут достижимы изнутри, но не будут достижимыми снаружи. [14]
В самом деле, пусть ( L) - кривая Жордана, расположенная внутри области и оканчивающаяся в точке Л, которая соответствует верхнему пределу единица для параметра. [15]