Cтраница 1
Нуль-ряд может иметь лишь конечное число точек абсолютной сходимости. [1]
Множество точек, где нуль-ряд не сходится к нулю, будем называть ядром нуль-ряда. [2]
Всякая порция) ядра нуль-ряда содержит порцию приведенного ядра того же ряда. Существует другой нуль-ряд, для которого соответственно ядром и приведенным ядром будут служить именно эти порции ядра и приведенного ядра данного нуль-ряда. [3]
Для всякого М - множества существует нуль-ряд с отличным от нуля свободным членом. [4]
Для изучения свойств ядра Е, приведенного ядра нуль-ряда мы будем существенно опираться на доказанные в § 71 главы 1 теоремы Райхмана о формальном произведении тригонометрических рядов. [5]
Очевидно, что уравнения (3.36) и (3.37) тесно связаны с теорией нуль-рядов. [6]
Множество точек, где нуль-ряд не сходится к нулю, будем называть ядром нуль-ряда. [7]
Действительно, пусть Ег лежит на dlt а Е2 на 62; если существует нуль-ряд, сходящийся к нулю вне Е - Ег - - Е2, то его простое ядро содержится в Е, значит, его порция дг ( Е), которая должна быть М - множеством, содержится в Elt а это невозможно. [8]
Отметим здесь некоторые простые, но важные для дальнейшего свойства ядер и приведенных ядер нуль-рядов. [9]
В § 24 мы разбираем вопрос о скорости, с которой могут стремиться к нулю коэффициенты нуль-рядов. [10]
Фурье, и тогда заранее нельзя сказать, должно ли (24.2) иметь место, или ряд (24.1) может быть нуль-рядом. [11]
Так как ряд (6.3), определяющий А ( х), сходится быстро, то можно применить к формальному произведению данного нуль-ряда и ряда для А ( х) теорему Райхмана. [12]
Из критерия § 11 вытекает, что если мы найдем монотонную функцию F ( х), постоянную на смежных интервалах к некоторому совершенному множеству Р меры нуль, и такую, что ее коэффициенты Фурье-Стилтьеса стремятся к нулю, то это Р будет М - множеством и коэффициенты Фурье - Стилтьеса для F ( x) будут коэффициентами нуль-ряда. [13]
Всякая порция) ядра нуль-ряда содержит порцию приведенного ядра того же ряда. Существует другой нуль-ряд, для которого соответственно ядром и приведенным ядром будут служить именно эти порции ядра и приведенного ядра данного нуль-ряда. [14]
Коэффициенты нуль-ряда стремятся к нулю по теореме Кантора-Лебега ( см. § 62 главы I), так как он сходится почти всюду. Все условия теоремы о формальном произведении выполнены. Однако оно не может всюду сходиться к нулю, так как в точках д ( Е) формальное произведение заведомо не сходится к нулю. [15]