Cтраница 2
Это последнее условие, как было уже сказано в § 98, выполняется само собой в случае конечной односвязной области, который мы сейчас рассматриваем, но в общем случае оно играет существенную роль. [16]
Контурные условия ( 19) в этом случае отпадают, а условие ( 18) показывает, что решение задачи для составной конечной области сводится к решению плоской задачи теории упругости для конечной односвязной области. [17]
Метод решения, аналогичный изложенному выше ( § 151) для случая двусвязных областей, был применен Д. И. Шерманом [35] в задаче о напряжениях в кусочно-однородных средах, когда составное неоднородное тело, занимающее конечную односвязную область, состоит из соединенных между собой двух различных по упругим свойствам деталей. Отверстие в однородной пластинке конечных размеров, ограниченной двумя замкнутыми контурами, заполняется сплошной шайбой из другого материала. На внешней границе пластинки задаются обычные условия первой задачи, а на линии раздела двух сред требуется равенство напряжений при наличии заданного скачка упругих смещений. [18]
Этим налагаются определенные требования на функции Мусхелишвили ф ( г), ф ( г) - они должны быть таковы, чтобы определяемые по ним напряжения и перемещения удовлетворяли перечисленным требованиям. В частности, в конечной и односвязной области функции ф (), ty ( z) голоморфны. В двух других случаях оказывается возможным отделение в них вполне определенных условиями задачи логарифмических ( неоднозначных) слагаемых от голоморфных в L частей фДг) 4v ( z); решение сводится к разысканию этих частей. [19]
Однако между рассматриваемым здесь случаем и предыдущим имеется и довольно существенная разница. Дело в том, что в случае конечной односвязной области функции р ( z) и) ( z) голоморфны ( и, следовательно, однозначны) во всей области, тогда как в нашем случае это, вообще говоря, не имеет места. [20]
Если С - замкнутый простой кусочно гладкий контур, ограничивающий конечную односвязную область S, пробегаемый так, что область S остается слева, и функции Р ( х, У), О. [21]
Чтобы вывести теорему 2.3 из теоремы 2.3, достаточно вспомнить, что в односвязной области две кривые гомотопны тогда и только тогда, когда совпадают их начальные и конечные точки. Из теоремы 2.3 видно, что у каждой функции, голоморфной в конечной односвязной области, существует первообразная, также голоморфная в этой области. [22]
Относительно вопроса существования решения заметим пока следующее. С точки зрения математической, первая основная задача вполне эквивалентна, по крайней мере для конечных односвязных областей J), задаче равновесия упругой тонкой пластинки, заделанной по краям, при наличии нагрузки, нормальной к ее плоскости. [23]
Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной области. Так как искомые аналитические функции ф ( г) и ty ( z) однозначны в данной области S и упругие постоянные X и [ л не входят в граничное условие (6.109), то решение этой задачи, даваемое функциями cp ( z), т ( з ( z), не зависит от упругих постоянных Лиц, иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной многосвязной области решение, определяемое функциями ф ( г), ty ( z), зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функциями ( f ( z), ip ( z), не зависело от упругой постоянной х, главные векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lk, как это следует из формул (6.100), (6.101), должны быть в отдельности равны нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных тела. [24]
Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной области. Так как искомые аналитические функции ф ( г) и t ( ( 2) однозначны в данной области 5 и упругие постоянные Л и ц не входят в граничное условие (6.109), то решение этой задачи, даваемое функциями ф г), г) 1 ( г), не зависит от упругих постоянных К и ц, иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной многосвязной области решение, определяемое функциями р ( г), ( г), зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функциями ф ( г), i ( 2), не зависело от упругой постоянной к, главные векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lk, как это следует из формул (6.100), (6.101), должны быть в отдельности равны нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных тела. [25]