Cтраница 2
Чтобы явно описать эту риманову поверхность, мы построим фундаментальную область группы Г на полуплоскости Im z 0, где эта группа действует как группа дробно-линейных преобразований. [16]
На примере теоремы 6.2 легко убедиться, что условие компактности фундаментальной области группы f является существенным. [17]
На примере теоремы 6.2 легко убедиться, что условие компактности фундаментальной области группы у является существенным. [18]
Тогда F U ( Р) п - f2 U J0 ( Fz) - компоненты связности фундаментальной области группы G ( / о - инверсия относительно некоторой окружности iSf0 й0), лежащие в различных компонентах QI и Q2 множества разрывности. [19]
Пусть G сз та - клейнова группа, G G - ее подгруппа, сохраняющая, и F - фундаментальная область группы С, ограниченная попарно эквивалентными сторонами. [20]
Однако, при этом точки сторон угла АОВ, например z0 и ez0, эквивалентны, а потому за фундаментальную область группы надо брать внутренние точки области Р0 и одну из двух сторон угла АОВ. [21]
Поэтому проекция на X множества ZOCJ7 0 ( n) V совпадает с проекцией множества F f ( П) V, где f - фундаментальная область группы Z относительно подгруппы А целочисленных матриц. Эта область FTO является компактным множеством. [22]
Из этой формулировки теоремы Альфорса видно, что бесконечное число сторон фундаментального полиэдра Р ( G) с Я3 конечно порожденной дискретной группы G с & % 2 накапливается к точкам из P PnA ( G), не лежащим на границе плоской фундаментальной области группы G. Сферическая мера этого множества Р, как показали Альфорс и Сулливан, равна нулю. Более того, существует гипотеза, что множество Р конечно. [23]
Наиболее простую структуру имеет изометрическая фундаментальная область фуксовой группы. Тогда она ограничена дугами окружностей, ортогональных инвариантной окружности, и состоит либо из двух симметричных компонент, либо из одной компоненты, а отображения, связывающие ее эквивалентные стороны, порождают всю группу. В общем же случае граница изометрической фундаментальной области может быть весьма сложной природы ( см. пример 18), Во многих вопросах удобнее иметь дело с другими фундаментальными областями. Например, для фуксовых групп часто используются так называемые нормальные фундаментальные многоугольники Дирихле. [24]
Пусть группа G порождается вращениями на 180 вокруг этих прямых. Нетрудно видеть, что фундаментальной областью группы G ( см. § 4 гл. G-экви-валентные точки границы куба, мы получим факторпространство 6 - R3 / G. При таком отождествлении каждая сторона куба должна сложиться - как раскрытая книга. [25]
Связный подкомплекс D комплекса Е называется фундаментальной областью группы G, если он содержит в точности по одной 2-клетке из каждого класса эквивалентности вместе с их границами. Говорят, что G имеет компактную фундаментальную область, если число G - эквивалентных классов 2-клеток конечно, то есть D состоит из конечного числа 2-клеток и их границ. [26]
Понятие фундаментальной области играет особую роль в теории разрывных групп преобразований. На нем основывается комбинаторно-геометрический метод исследования групп, восходящий к работам Пуанкаре [1, 2] по фуксовым и клейновым группам. Линдон, Шупп [1], Магнус, Каррас, Солитэр [1], Кэннон [1]) и, с другой стороны, помогает доказать разрывность и найти фундаментальную область группы преобразований с данными порождающими. Важную роль при этом играют фундаментальные области специального вида - фундаментальные полиэдры. [27]