Cтраница 2
Говорят, что Н есть собственный гомоморфный образ группы G, если существует гомоморфизм ф G на / / такой, что 1 Лг ( ф) С. Фактор-группа подгруппы группы С называется ее секцией. [16]
Иначе говоря, группа Chart является гомоморфным образом группы Сокегу. [17]
Лемма, ( а) Подгруппы и гомоморфные образы раз-рещимой группы разрешимы. [18]
Возможны и другие представления - они являются гомоморфными образами группы, однако пока мы сосредоточимся на точных представлениях. Определение точного представления на инфинитезимальном уровне уже было дано в гл. [19]
Очевидно, что эти классы образуют группу, являющуюся гомоморфным образом группы характеров X группы 3 - Выберем в X некоторый фиксированный базис Xi... [20]
Прокоммутированная группа G / G, G ], соответствующая некоторой группе G, есть наибольшая абелева группа, являющаяся гомоморфным образом группы G. Более строго это можно выразить следующим образом. Рассмотрим произвольный гомоморфизм 9 группы G в абелеву группу / С. [21]
Если число / ii элементов в классе Ci группы G равно степени простого числа, то G - не простая группа. Точнее, существует гомоморфный образ группы G, 8 котором образы элементов класса Ct содержатся в центре. Группы порядка paqb, где р и g - простые числа, разрешимы. [22]
Таким образом, подстановками производной группы А / В являются все те подстановки на множестве смежных классов, которые индуцируются группой А при левостороннем умножении. Следовательно, группа А / В является гомоморфным образом группы Л и ее степень равна А / В. [23]
В дальнейшем мы увидим, что класс iQ - алгебр тогда и только тогда является многообразием, когда этот класс замкнут относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и декартовых произведений. В частности, подалгебра группы - снова группа, гомоморфный образ группы - группа и декартово произведение групп - снова группа. [24]
Эта цепь исследований заканчивается пока работой А. Г. К у р о ша [22], содержащей дальнейшие обобщения теорем Ремака-Шмидта и Коржинека. Пусть группа G обладает таким свойством: если К и Z будут соответственно ее коммутант и центр, то всякий гомоморфный образ группы G / / C в группе Z должен быть периодической группой, примарные компоненты которой удовлетворяют условию минимальности. Тогда два любых прямых разложения группы О с конечным числом множителей обладают центрально изоморфными продолжениями. Если же потребовать, чтобы указанные гомоморфные образы группы О / К в группе Z сама удовлетворяли условию минимальности, то центрально изоморфные продолжения будут существовать и для прямых, разложений с бесконечным числом прямых, множителей. Эти результаты, как и теорема Коржинека, относятся к группам без операторов. Для случая операторных групп в этой же работе А. Г. К у р о ша доказана следующая теорема, более-общая, чем теорема Ремака-Шмидта: пусть G - такая группа с произвольной системой операторов, что если К и Z соответственно ее коммутант и допустимый центр, то всякий операторпо-гомоморфный образ группы О / К в группе Z обладает главным рядом. Тогда два любых прямых разложения группы G ( причем число пря мых множителей может быть и бесконечным) обладают центрально изоморфными продолжениями. [25]
Наоборот, из последнего соотношения следует, что ( s - KQr) Sj, Таким образом, соотношение ( s () тг ( g) sf выполняется тогда и только тогда, когда HxiT: l ( g) Hx. В частности, тс ( g) - тождественная подстановка тогда и только тогда, когда ( g) тождественна. Итак, Р и Р1 являются гомоморфными образами группы G с одним и тем же ядром, причем соответствие тг ( g) TCJ ( g) является изоморфизмом между ними. [26]
Говорят, что бесконечная группа G обладает некоторым свойством локально, если этим свойством обладает любая ее конечно порожденная подгруппа. G существует по крайней мере одна группа HL, в которой образ элемента g не является единицей. Мы будем говорить, что некоторое свойство выполняется в G остаточно, если существует семейство остатков, состоящее из гомоморфных образов группы G, каждый из которых обладает этим свойством. [27]
Следовательно, наименьшее содержащее Е расширение Галуа К поля / г, которое является композитом Е и его сопряженных, разрешимо в радикалах. Положим снова F k ( t), где С - примитивный корень га-й степени из единицы. Достаточно доказать, что KF разрешимо над F, поскольку отсюда будет вытекать, что KF разрешимо над k и, следовательно, группа O ( Kjk), являющаяся гомоморфным образом группы G ( KFIK), разрешима. Но KFJF может быть разложено в башню расширений, каждый этаж которой имеет простую степень и принадлежит к типу, описанному в теоремах 10 и 11, причем соответствующие корни из единицы лежат в поле F. Следовательно, KFJF разрешимо, и наша теорема доказана. [28]
Следовательно, наименьшее содержащее Е расширение Галуа К поля k, которое является композитом Е и его сопряженных, разрешимо в радикалах. Положим снова F k ( Q, где С - примитивный корень т-й степени из единицы. Достаточно доказать, что KF разрешимо над F, поскольку отсюда будет вытекать, что KF разрешимо над k и, следовательно, группа G ( / C / &), являющаяся гомоморфным образом группы G ( KFIK), разрешима. Но KF / F может быть разложено в башню расширений, каждый этаж которой имеет простую степень и принадлежит к типу, описанному в теоремах 10 и 11, причем соответствующие корни из единицы лежат в поле F. Следовательно, KFJF разрешимо, и наша теорема доказана. [29]
Эта цепь исследований заканчивается пока работой А. Г. К у р о ша [22], содержащей дальнейшие обобщения теорем Ремака-Шмидта и Коржинека. Пусть группа G обладает таким свойством: если К и Z будут соответственно ее коммутант и центр, то всякий гомоморфный образ группы G / / C в группе Z должен быть периодической группой, примарные компоненты которой удовлетворяют условию минимальности. Тогда два любых прямых разложения группы О с конечным числом множителей обладают центрально изоморфными продолжениями. Если же потребовать, чтобы указанные гомоморфные образы группы О / К в группе Z сама удовлетворяли условию минимальности, то центрально изоморфные продолжения будут существовать и для прямых, разложений с бесконечным числом прямых, множителей. Эти результаты, как и теорема Коржинека, относятся к группам без операторов. Для случая операторных групп в этой же работе А. Г. К у р о ша доказана следующая теорема, более-общая, чем теорема Ремака-Шмидта: пусть G - такая группа с произвольной системой операторов, что если К и Z соответственно ее коммутант и допустимый центр, то всякий операторпо-гомоморфный образ группы О / К в группе Z обладает главным рядом. Тогда два любых прямых разложения группы G ( причем число пря мых множителей может быть и бесконечным) обладают центрально изоморфными продолжениями. [30]