Cтраница 3
Для любой простой / С-группы вычислены все ее возможные накрывающие. Более детально о них пойдет речь в § 4.15. Таким образом, определены все квазипростые / С-группы. Безусловно, из классификационной теоремы следует, что в действительности мы знаем все квазипростые группы. Исайя Шур показал в [245], что любая простая ( и даже, более общо, совершенная) группа X допускает универсальную накрывающую группу X, обладающую тем свойством, что всякая накрывающая группа для X получается как гомоморфный образ группы X. Центр Z ( X) называется мультипликатором Шура группы X. [31]
По теореме 5.7.1 нормализатор N действует как симметрическая группа Sr на первых г буквах из основного множества букв G. Пусть Л / г - подгруппа группы N, являющаяся знакопеременной группой АГ тех же г букв. Мы получим гомоморфный образ группы Л / j, если будем комбинировать подстановки первых г букв с подстановками па областях транзитивности Tf, переставляемыми между собой элементами из Л / р Этот образ является подпрямым произведением группы Ат, действующей на первых г буквах, и группы В, некоторым образом переставляющей k областей транзитивности Т между собой. Аг таким образом, единственной фактор-группой этой группы, изоморфной некоторой фактор-группе группы Аг, является единичная группа. Следовательно, это подпрямое произведение, в силу результата § 5.5, оказывается прямым произведением групп Ат и В. Полным прообразом в группе Л подгруппы этого прямого произведения, порожденной подгруппой Аг, с одной стороны, и единицей группы В - с другой, является подгруппа N2 которая на первых г буквах действует как Ат, а каждую область транзитивности Tt отображает на себя. [32]
Согласно теореме 19.9, существует расширение K / Q и алгебра с делением D е 5 ( / С), такая, что если LQ - максимальное подполе алгебры D, являющееся расширением Галуа поля К, то G ( L0 / K) - произведение циклических групп простых порядков. В силу леммы b группа G ( E / Ln) должна быть произведением циклических групп простых порядков. Пусть р - простое число, такое, что р не делит п и ( п, р - 1) 2, например р - 2, если п нечетно. По поводу случая, когда п четно, см. упр. В силу леммы b D содержит максимальное подполе L, такое, что L / Qp - абе-лево расширение степени п и G ( L / QP) - произведение циклических групп простых порядков. Поскольку группа G ( L / QP) - произведение циклических групп простых порядков, она является полупростым Z-модулем: подгруппы - его прямые слагаемые. На языке подполей это замечание означает, что существует подполе М поля L, такое, что MF L и МГ Р Qp. Согласно предложению 17.8 группа G ( F / QP) - циклический гомоморфный образ группы G ( L / QP), откуда [ F: Qp ] G ( F / QP) - произведение различных простых сомножителей. [33]