Cтраница 2
Далее будет определен класс ККЧС, в котором влияние начального состояния убывает на нет со временем, и будет показано, что для этих каналов С С. До того как приступить к этому, установим два обращения теоремы кодирования для ККЧС; одно, соответствующее С, и другое - С. [16]
Как было указано в § 4.3, такой результат не обязательно исключает возможность надежной передачи данных на скоростях, больших пропускной способности, так как большая вероятность ошибочного декодирования блока не означает, что будет большая вероятность ошибки в отдельном символе источника. Кроме того, такой результат ничего не говорит о вероятности ошибки для неблоковых кодов. Вместе с тем этот результат является более простым для понимания но сравнению с обращением теоремы кодирования ( теоремы 4.3.4), так как он касается только канала, а не источника и канала вместе взятых, и он дает дополнительное понимание природы пропускной способности. [17]
Для дискретных по времени каналов без памяти и для неразложимых каналов с конечным числом состояний теорема устанавливает, что в пределе при больших L функция R ( dL) меньше или равна пропускной способности канала ( в натах) на символ источника. Следовательно, если ордината кривой R ( d) равна пропускной способности ( в натах на символ источника), то соответствующая абсцисса равна нижней границе среднего искажения на букву, независимо от того, какие преобразования проводятся над источником и на входе и выходе канала. Обратно, если абсцисса обозначает требуемое значение критерия верности, то соответствующая ордината является нижней границей пропускной способности канала, требуемой для достижения этого значения критерия верности. Эта теорема обычно называется обращением теоремы кодирования для источников относительно некоторой меры искажения. [18]
Заметим, что класс кодов, для которого каждое кодовое слово удовлетворяет ограничению, содержится в классе кодов, для которых удовлетворяется ограничение при усреднении по кодовым словам. Таким образом, любая вероятность ошибочного декодирования, которая может быть достигнута на некотором коде первого класса, может быть также достигнута на коде ( в частности, на том же коде) последнего класса. Обратно, любая нижняя граница вероятности ошибки - последнего класса также будет нижней границей первого класса. Поэтому теорема кодирования будет доказываться при ограничении на каждое кодовое слово, а ее обращение - когда удовлетворяется ограничение только при усреднении по множеству кодовых слов. Таким образом, каждая теорема будет применима к обоим случаям, и будет показано, что нет существенной разницы в том, какой из двух случаев рассматривается. Начнем с изучения обращения теоремы кодирования, так как она почти не отличается от соответствующей теоремы для случая без ограничений. [19]