Cтраница 2
Пусть пространство X есть сумма семейства ( Х () своих подпространств и X / R - пространство, получаемое склеиванием пространств X, по открытым множествам Ап посредством биекций hu ( § 2, п 5); будем предполагать, что ЛХ1 для любой пары индексов i, x есть гомеоморфизм Аа на Ам. При этих условиях отношение R открыто. Аи, а зна-яит, также в X, откуда и следует наше утверждение. [16]
Это позволяет определить два морфизма, ц и V JJ, PP аддитивной группы [ Z, - f - ] в мультипликативную симметрическую группу, состоящую из всех биекций X, относительно правой и левой композиции соответственно. [17]
Согласно результатам параграфа 3.4 инвариантами классов условно рационально эквивалентных конечных алгебр являются пары ( SubA, IsoA), где SubA - решетка основных множеств подалгебр алгебры А и IsoA - совокупность биекций, являющихся изоморфизмами между подалгебрами из А. [18]
S n u BCn B m, I e JE jA JSy JA JSyr, где Е ев В С п и s В m, A Alt В В Сп и р В s, Sy Sym В В С п и В, Sy - совокупность всех биекций между подмножествами, являющимися областями определения перестановок, входящих в Sy, мощность которых не превышает число fc, A Alt П ( П -) если k п - 1 и р п - 2, А 0 в противном случае. [19]
Мы будем действовать примерно так же, как и при доказательстве изоморфизма счетных плотных всюду упорядоченных множеств без первого и последнего элементов. Построение искомых биекций происходит по шагам. [20]
На каждой вертикальной или горизонтальной прямой графика биекций отмечена одна и только одна вершина сетки. При стрелочном изображении биекций А - В из каждой точки, которой обозначен элемент множества Л, выходит точно одна стрелка и в каждую точку, которая является обозначением элемента множества В, входит одна и только одна стрелка. [21]
Объединение множеств U для всех возможных биекций ф обозначим через U. Таким образом, приходим к следующему утверждению. [22]
Первое утверждение следует из теоремы 7 гл. Второе утверждение следует из существования ряда очевидных биекций, большая часть которых была указана в гл. [23]
Пока заметим только, что для инъекций и биекций бесконечных множеств эти утверждения неверны. [24]
Эта глава в основном посвящена группам. Напомним, что булевы алгебры описывают поведение множеств относительно операций пересечения, объединения и дополнения. С теми же основаниями можно сказать, что группы описывают поведение биекций относительно операции композиции. Эти биекций, в частности, могут быть симметриями геометрических или алгебраических конфигураций. [25]
Эта глава в основном посвящена группам. Напомним, что булевы алгебры описывают поведение множеств относительно операций пересечения, объединения и дополнения. С теми же основаниями можно сказать, что группы описывают поведение биекций относительно операции композиции. Эти биекций, в частности, могут быть симметриями геометрических или алгебраических конфигураций. [26]
Частичным отображением множества X в множество Y называется любое отображение произвольного подмножества из X в У. При X У получаем понятие частичного преобразования множества X. У ( X) всех взаимно однозначных частичных преобразований множества X; ее определение фактически дано самим термином. Каждая из полугрупп & - ( Х) и 3 ( Х) содержит в качестве ( максимальной) подгруппы симметрическую группу 9 ( Х), состоящую из всех биекций множества X на себя. [27]