Cтраница 2
Терминальным объектом Г категории Cat является однообъектная дискретная категория, а инициальным объектом 1 - пустая категория. [16]
Категория Жх из предыдущего пункта - это в действительности категория, объектами которой служат всевозможные морфизмы вида v: Х - - - У ( й) в категории Г - Set. Канонический морфизм X - - V ( W ( X)) есть инициальный объект этой категории. [17]
Покажем сейчас, что для каждой алгебры Я в данном классе имеется единственный гомоморфизм i: U - Я. При этом предполагаем, что для каждого реф фиксирован определенный набор атрибутов. U есть инициальный объект соответствующей категории. [18]
Все конструкции здесь определяются покомпонентно. В частности, при любом Г категория Г - Set есть топос. Инициальный объект в Г - Set есть объект 3) ( A, г Г), где все Д - пустые множества. Если все А одноэлементны, то 2) - терминальный объект. Если все Di, i е Г, непусты, то объект 2D обладает элементами. [19]
Так приходим к категории Жв всех линеаризации полугруппы S над К. Простая проверка показывает, что эта линеаризация есть инициальный объект в категории Ж в. В этом смысле алгебра KS определяет свободную линеаризацию полугруппы S над К. Те же соображения применимы и к групповым алгебрам. [20]
Понятно, что категория всех множеств Set есть топос. Топосом является и категория Finset всех конечных множеств. Все конструкции здесь стандартны. С другой стороны, категория всех непустых множеств топосом не является - здесь нет инициального объекта. Этим отображением является искусственно определяемое пустое отображение - отображение с пустым графиком в пустом множестве & ХА. Рассмотрим далее категорию Finord, являющуюся подкатегорией в Finset. [21]
Терминальные н инициальные объекты категорий; категории с нулевыми морфизмами. [22]